Zamknięte1 pkt
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym bok \(BC\) jest przeciwprostokątną, punkt \(D\) jest środkiem przyprostokątnej \(AB\) oraz \(|AB|=6\) i \(|CD|=5\). Oznaczmy kąt \(ADC\) przez \(\alpha\), natomiast kąt \(ABC\) – przez \(\beta\) (zobacz rysunek).
Tangens kąta \(\alpha\) jest równy
A
\(\frac{2}{3}\)
B
\(\frac{3}{4}\)
C
\(\frac{4}{5}\)
D
\(\frac{4}{3}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie długości AD
Punkt D jest środkiem odcinka AB, więc dzieli go na dwie równe części.
\[|AD|=\frac{|AB|}{2}=\frac{6}{2}=3\]
2 Obliczenie długości AC
Trójkąt ACD jest prostokątny w A. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy drugą przyprostokątną.
\[|AC|^2=|CD|^2-|AD|^2=5^2-3^2=16,\quad |AC|=4\]
3 Obliczenie tangensa
W trójkącie ACD tangens kąta α jest ilorazem przyprostokątnej naprzeciw tego kąta i przyprostokątnej przy nim.
\[\tan\alpha=\frac{|AC|}{|AD|}=\frac{4}{3}\]
Odpowiedź
Tangens kąta α wynosi 4/3. Poprawna odpowiedź: D.
\[\tan\alpha=\frac{4}{3}\]
Sprawdzenie
Otrzymane długości spełniają twierdzenie Pitagorasa, a AD = 3 jest połową AB = 6.
\[3^2+4^2=5^2,\qquad 2\cdot3=6\]