Zamknięte1 pkt
Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\sqrt{3}\operatorname{tg}\alpha=2\sin\alpha\).
Cosinus kąta \(\alpha\) jest równy
A
\(\frac{1}{2}\)
B
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
C
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
D
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zastosowanie definicji tangensa
Ponieważ kąt jest ostry, jego sinus i cosinus są dodatnie. Możemy więc podstawić definicję tangensa i podzielić równanie przez sinus.
\[\sqrt{3}\,\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\sin\alpha\quad\Rightarrow\quad\frac{\sqrt{3}}{\cos\alpha}=2\]
2 Obliczenie cosinusa
Mnożymy równanie przez dodatni cosinus i dzielimy przez 2.
\[\sqrt{3}=2\cos\alpha\quad\Rightarrow\quad\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
Odpowiedź
Odpowiedź C.
\[\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\]
Sprawdzenie
Dla kąta ostrego o takim cosinusie sinus wynosi 1/2, a tangens wynosi 1/√3. Obie strony warunku są równe 1.
\[\sin\alpha=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac12,\qquad\sqrt3\operatorname{tg}\alpha=\sqrt3\cdot\frac{1}{\sqrt3}=1=2\cdot\frac12\]