Zamknięte1 pkt
Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=(n+3)(n-5)\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).
Liczba wszystkich ujemnych wyrazów tego ciągu jest równa
A
\(4\)
B
\(5\)
C
\(6\)
D
\(7\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Ustalenie warunku ujemności
Ponieważ dla każdego n≥1 czynnik n+3 jest dodatni, iloczyn jest ujemny dokładnie wtedy, gdy n−5<0.
\[a_n<0\iff n-5<0\iff n<5\]
2 Policzenie wyrazów
Warunek spełniają cztery dopuszczalne indeksy: 1, 2, 3 i 4.
\[n\in\{1,2,3,4\}\quad\Rightarrow\quad 4\text{ wyrazy ujemne}\]
Odpowiedź
Cztery wyrazy ujemne — odpowiedź A.
\[4\]
Sprawdzenie
Dla n od 1 do 4 drugi czynnik jest ujemny. Dla n=5 wyraz wynosi 0, a dla n>5 oba czynniki są dodatnie, więc innych wyrazów ujemnych nie ma.
\[a_5=(5+3)(5-5)=0\]