Zamknięte1 pkt
Równanie \(2x(x+3)(x^2+25)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A
dwa rozwiązania: \((-3)\) oraz \(0\).
B
dwa rozwiązania: \((-3)\) oraz \(2\).
C
trzy rozwiązania: \((-5)\), \((-3)\) oraz \(0\).
D
cztery rozwiązania: \((-5)\), \((-3)\), \(0\) oraz \(5\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zastosowanie zasady iloczynu
Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru. Stała 2 nie jest zerem.
\[2x(x+3)(x^2+25)=0\iff x=0\ \lor\ x+3=0\ \lor\ x^2+25=0\]
2 Wyznaczenie rozwiązań rzeczywistych
Z dwóch pierwszych warunków otrzymujemy 0 i −3. Trzeci nie daje rozwiązania rzeczywistego, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.
\[x=0\quad\lor\quad x=-3,\qquad x^2+25\ge 25>0\]
Odpowiedź
Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania: −3 i 0. Odpowiedź A.
\[\boxed{x\in\{-3,0\}}\]
Sprawdzenie
Dla x = 0 zeruje się czynnik x, a dla x = −3 czynnik x + 3. Dla pozostałych liczb rzeczywistych oba te czynniki są niezerowe, zaś x² + 25 jest zawsze dodatnie, więc innych rozwiązań nie ma.
\[2\cdot 0\cdot(0+3)\cdot(0^2+25)=0,\qquad 2\cdot(-3)\cdot(-3+3)\cdot((-3)^2+25)=0\]