Zadanie 22 — matura 2025, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2025 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny \(ABCDS\) o podstawie \(ABCD\). Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa \(10\). Wysokość tego ostrosłupa jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy.

Wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka \(S\) do krawędzi podstawy \(AB\) tego ostrosłupa jest równa

\(5\sqrt{10}\)

\(5\sqrt{35}\)

\(5\sqrt{37}\)

\(10\sqrt{2}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości ostrosłupa

Wysokość jest trzy razy dłuższa od krawędzi podstawy, więc ma długość 30.

\[H=3\cdot 10=30\]

2 Obliczenie wysokości ściany bocznej

W ostrosłupie prawidłowym wysokość pada na środek podstawy O. Jeśli M jest środkiem AB, to OM ma długość połowy boku kwadratu. Trójkąt SOM jest prostokątny, więc stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[OM=\frac{10}{2}=5,\qquad SM=\sqrt{SO^2+OM^2}=\sqrt{30^2+5^2}=\sqrt{925}=5\sqrt{37}\]

Odpowiedź

Wysokość ściany bocznej wynosi 5√37. Odpowiedź C.

\[SM=5\sqrt{37}\]

Sprawdzenie

Kwadrat otrzymanej wysokości wynosi 925, czyli jest sumą kwadratów przyprostokątnych 30 i 5. Jest też większa od wysokości ostrosłupa, jak powinna.

\[(5\sqrt{37})^2=925=30^2+5^2\]