Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq 0\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność
\(5x^2+2y^2>2xy\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Sprowadzamy nierówność do dodatniości różnicy
Odejmujemy prawą stronę i zapisujemy otrzymane wyrażenie jako sumę kwadratów.
\[5x^2+2y^2-2xy=(x-y)^2+4x^2+y^2\]
2 Wykazujemy nierówność ostrą
Kwadraty są nieujemne, a przy x\neq 0 składnik 4x^2 jest dodatni.
\[(x-y)^2+4x^2+y^2>0\]
Odpowiedź
Dla każdego x różnego od zera i każdego rzeczywistego y zachodzi podana nierówność.
\[5x^2+2y^2>2xy\]
Sprawdzenie
Po rozwinięciu kwadratów otrzymujemy dokładnie różnicę stron nierówności. Ponieważ 4x²>0 dla x≠0, różnica jest dodatnia niezależnie od y.
\[(x-y)^2+4x^2+y^2=x^2-2xy+y^2+4x^2+y^2=5x^2+2y^2-2xy>0\]