Matematyka — matura 2025

Liczba \(0{,}1\) jest jednym z przybliżeń liczby \(\frac{1}{8}\).

Błąd względny tego przybliżenia, wyrażony w procentach, jest równy

Liczba \(256\cdot\sqrt[3]{8^2}\) jest równa

Liczba \((\sqrt{3}+1)^2-\sqrt{12}\) jest równa

Liczba \(2+\log_3 5\) jest równa

Dana jest nierówność

\[8-\frac{1-2x}{2}\geq 3x\]

Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest

Równanie \(4(x-1)^2(x^2-25)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie

Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział

Na rysunku, w układzie współrzędnych \((x,y)\), przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(f(x)<f(-3)\) jest przedział

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=\frac{1}{2}x-k\), gdzie \(k\) jest liczbą rzeczywistą. Miejsce zerowe funkcji \(f\) jest liczbą większą od \(2\).

Liczba \(k\) należy do przedziału

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=5x\). W układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(f\) przesunięto o jedną jednostkę w prawo wzdłuż osi \(Ox\) i w wyniku tego przesunięcia otrzymano wykres funkcji liniowej \(g\).

Funkcja \(g\) jest określona wzorem

Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(500+50x)(16-x)\).

Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 0,14\rangle\) jest równa

Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=64^x\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).

Liczba \(f\left(-\frac{2}{3}\right)\) jest równa

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=3n^2-3n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).

Suma \(S_3\) trzech początkowych kolejnych wyrazów ciągu \((a_n)\) jest równa

Trzywyrazowy ciąg \((4,\ m,\ m-1)\) jest geometryczny, gdy liczba \(m\) jest równa

Dany jest trójkąt prostokątny o kątach ostrych \(\alpha\) oraz \(\beta\) (zobacz rysunek).

Sinus kąta \(\alpha\) jest równy \(\frac{4}{7}\).

Cosinus kąta \(\beta\) jest równy

Liczba \(\frac{\sin^3 25^\circ+\sin 25^\circ\cdot\cos^2 25^\circ}{\cos 25^\circ}\) jest równa

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości \(10\), \(24\), \(26\) (zobacz rysunek).

Długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa

Dany jest trójkąt prostokątny o bokach długości \(10\), \(24\), \(26\) (zobacz rysunek).

Długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie jest równa

Na dziesięciokącie foremnym \(ABCDEFGHIJ\) opisano okrąg o środku w punkcie \(S\) (zobacz rysunek).

Miara kąta wpisanego \(AGD\) jest równa

Kwadrat \(\mathcal{K}_2\) jest podobny do kwadratu \(\mathcal{K}_1\) w skali \(5\) (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa \(78\).

Długość boku kwadratu \(\mathcal{K}_1\) jest równa

W układzie współrzędnych \((x, y)\) dana jest prosta \(k\) o równaniu \(y=x-4\). Prosta \(l\) jest obrazem prostej \(k\) w symetrii osiowej względem osi \(Oy\) układu współrzędnych.

Prosta \(l\) jest określona równaniem

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe \(20\). Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy.

Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

Tworząca stożka ma długość \(6\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(60^\circ\).

Wysokość tego stożka jest równa

Wszystkich liczb naturalnych trzycyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jeden raz cyfra \(0\), jest

Średnia arytmetyczna trzech liczb: \(a,\ b,\ c\), jest równa \(12\).

Średnia arytmetyczna sześciu liczb: \(2a,\ 3a,\ 2b,\ 3b,\ 2c,\ 3c\), jest równa

Rozwiąż nierówność

\(x(x+4) \lt x-2\)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 2\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność

\(x^2 + y^2 > 4(x + y - 2)\)

W maju 2024 roku założono dwa sady: posadzono w nich łącznie 1410 drzew. Po roku stwierdzono, że uschło \(20\%\) drzew w pierwszym sadzie i \(15\%\) drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.

Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła \(70\%\) liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Oblicz, ile drzew posadzono w pierwszym sadzie w maju 2024 roku.

Ciąg arytmetyczny ma dwadzieścia pięć wyrazów, a suma wszystkich jego wyrazów jest równa 2025. Ostatni wyraz tego ciągu jest 17 razy większy od pierwszego wyrazu tego ciągu.

Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.

W tabeli zestawiono liczbę punktów uzyskanych przez 32 uczniów pewnej klasy za rozwiązanie jednego z zadań ze sprawdzianu z matematyki.

Oblicz średnią arytmetyczną oraz medianę liczby punktów otrzymanych przez tych uczniów za rozwiązanie tego zadania.

Dane są dwa zbiory: \(X=\{-3,-2,-1,0,1,2\}\) oraz \(Y=\{-2,-1,0,1\}\). Losujemy jedną liczbę ze zbioru \(X\), a następnie losujemy jedną liczbę ze zbioru \(Y\) i tworzymy uporządkowaną parę liczb \((x,y)\), gdzie \(x\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(X\) oraz \(y\) jest liczbą wylosowaną ze zbioru \(Y\).

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosujemy parę liczb \((x,y)\), która będzie spełniać warunek \(x\cdot y\geq 0\).

W układzie współrzędnych \((x, y)\) wykres funkcji kwadratowej \(f\) przechodzi przez punkt \((2, 15)\). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu \(x=-1\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(1\).

Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej oraz zbiór wartości funkcji \(f\).

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4.

Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(0,1)\) oraz \(C=(6,4)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Prosta \(k\) o równaniu \(y=ax+b\) przechodzi przez wierzchołki \(B\) oraz \(D\) tego kwadratu.

Oblicz pole tego kwadratu oraz wyznacz współczynniki \(a\) oraz \(b\) w równaniu prostej \(k\).