Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 2\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność
\(x^2 + y^2 > 4(x + y - 2)\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przeniesienie wyrazów
Przenosimy prawą stronę na lewą, aby wykazać, że różnica jest dodatnia.
\[x^2+y^2-4(x+y-2)>0\]
2 Uzupełnienie kwadratów
Zapisujemy różnicę jako sumę kwadratów, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.
\[x^2+y^2-4(x+y-2)=(x-2)^2+(y-2)^2\]
3 Wykazanie dodatniości
Ponieważ \(x\neq 2\), pierwszy kwadrat jest dodatni, a drugi jest nieujemny dla każdego rzeczywistego \(y\).
\[(x-2)^2>0,\quad (y-2)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad (x-2)^2+(y-2)^2>0\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla każdego rzeczywistego \(x\neq 2\) i każdego rzeczywistego \(y\).
\[x^2+y^2>4(x+y-2)\]
Sprawdzenie
Suma kwadratów może być równa zeru tylko wtedy, gdy jednocześnie \(x=2\) i \(y=2\). Warunek \(x\neq 2\) wyklucza ten przypadek.
\[(x-2)^2+(y-2)^2=0\iff x=2\ \land\ y=2\]