Otwarte2 pkt
Ciąg arytmetyczny ma dwadzieścia pięć wyrazów, a suma wszystkich jego wyrazów jest równa 2025. Ostatni wyraz tego ciągu jest 17 razy większy od pierwszego wyrazu tego ciągu.
Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie sumy
Suma 25 wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa liczbie wyrazów pomnożonej przez średnią pierwszego i ostatniego wyrazu.
\[S_{25}=\frac{25(a_1+a_{25})}{2}=2025\]
2 Obliczenie pierwszego wyrazu
Podstawiamy warunek \(a_{25}=17a_1\) i rozwiązujemy równanie.
\[\frac{25(a_1+17a_1)}{2}=2025\quad\Longrightarrow\quad225a_1=2025\quad\Longrightarrow\quad a_1=9\]
Odpowiedź
Pierwszy wyraz ciągu wynosi 9.
\[a_1=9\]
Sprawdzenie
Ostatni wyraz wynosi 153, czyli 17 razy więcej niż pierwszy. Suma obliczona z tych wyrazów jest równa 2025.
\[a_{25}=17\cdot9=153,\qquad S_{25}=\frac{25(9+153)}{2}=2025\]