Zamknięte1 pkt
Tworząca stożka ma długość \(6\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(60^\circ\).
Wysokość tego stożka jest równa
A
\(3\)
B
\(2\sqrt{3}\)
C
\(3\sqrt{3}\)
D
\(3\sqrt{5}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie kąta w przekroju
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Wysokość dzieli kąt rozwarcia na połowy, więc kąt między wysokością a tworzącą ma miarę \(30^\circ\).
\[\frac{60^\circ}{2}=30^\circ\]
2 Obliczenie wysokości
W powstałym trójkącie prostokątnym tworząca jest przeciwprostokątną, a wysokość leży przy kącie \(30^\circ\). Korzystamy z cosinusa tego kąta.
\[\cos 30^\circ=\frac{h}{6},\qquad h=6\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\]
Odpowiedź
Wysokość stożka wynosi \(3\sqrt{3}\). Odpowiedź C.
\[h=3\sqrt{3}\]
Sprawdzenie
Połowa średnicy podstawy ma długość \(6\sin 30^\circ=3\). Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy tworzącą długości \(6\), zgodnie z treścią zadania.
\[\sqrt{(3\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{27+9}=6\]