W układzie współrzędnych \((x, y)\) wykres funkcji kwadratowej \(f\) przechodzi przez punkt \((2, 15)\). Osią symetrii tego wykresu jest prosta o równaniu \(x=-1\). Jednym z miejsc zerowych funkcji \(f\) jest liczba \(1\).
Wyznacz wzór funkcji \(f\) w postaci kanonicznej oraz zbiór wartości funkcji \(f\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie drugiego miejsca zerowego
Miejsca zerowe leżą symetrycznie względem osi \(x=-1\), więc ich średnia wynosi \(-1\).
2 Wyznaczenie współczynnika
Zapisujemy funkcję za pomocą miejsc zerowych i podstawiamy współrzędne punktu \((2,15)\).
3 Postać kanoniczna i zbiór wartości
Po uzupełnieniu kwadratu otrzymujemy postać kanoniczną. Ponieważ współczynnik przy kwadracie jest dodatni, najmniejsza wartość funkcji wynosi \(-12\).
Odpowiedź
Postać kanoniczna: \(f(x)=3(x+1)^2-12\). Zbiór wartości: \([-12,\infty)\).
Sprawdzenie
Dla \(x=2\) funkcja ma wartość \(15\), a dla \(x=1\) wartość \(0\). Wierzchołek ma współrzędne \((-1,-12)\), więc oś symetrii i najmniejsza wartość zgadzają się z wynikiem.