Otwarte4 pkt
Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 94,5. Długości trzech krawędzi wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie równym 4.
Oblicz objętość tego prostopadłościanu.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Oznaczenie krawędzi
Krawędzie tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 4, więc ich długości można zapisać w tej postaci, gdzie \(a>0\).
\[a,\ 4a,\ 16a\]
2 Obliczenie długości krawędzi
Podstawiamy te długości do wzoru na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu.
\[2(a\cdot4a+4a\cdot16a+a\cdot16a)=94{,}5\;\Rightarrow\;168a^2=94{,}5\;\Rightarrow\;a^2=\frac{9}{16}\;\Rightarrow\;a=\frac34\]
3 Obliczenie objętości
Objętość jest iloczynem długości trzech krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka.
\[V=a\cdot4a\cdot16a=\frac34\cdot3\cdot12=27\]
Odpowiedź
Objętość prostopadłościanu wynosi 27.
\[V=27\]
Sprawdzenie
Krawędzie mają długości 0,75, 3 i 12, więc ich kolejne ilorazy wynoszą 4. Obliczone z nich pole powierzchni całkowitej jest równe 94,5.
\[\frac{3}{0{,}75}=\frac{12}{3}=4,\qquad 2(0{,}75\cdot3+3\cdot12+0{,}75\cdot12)=94{,}5\]