Zadanie 34 — matura 2025, czerwiec | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2025 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

W układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(0,1)\) oraz \(C=(6,4)\) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Prosta \(k\) o równaniu \(y=ax+b\) przechodzi przez wierzchołki \(B\) oraz \(D\) tego kwadratu.

Oblicz pole tego kwadratu oraz wyznacz współczynniki \(a\) oraz \(b\) w równaniu prostej \(k\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długość przekątnej

Punkty A i C są końcami przekątnej, więc obliczamy jej długość ze wzoru na odległość punktów.

\[|AC|^2=(6-0)^2+(4-1)^2=36+9=45\]

2 Pole kwadratu

Pole kwadratu jest równe połowie kwadratu długości jego przekątnej.

\[P=\frac{|AC|^2}{2}=\frac{45}{2}\]

3 Współczynniki prostej

Przekątne kwadratu przecinają się w połowie i są prostopadłe. Środek AC leży więc na prostej k, a jej współczynnik kierunkowy jest przeciwną odwrotnością współczynnika kierunkowego AC.

\[S=\left(\frac{0+6}{2},\frac{1+4}{2}\right)=\left(3,\frac52\right),\quad a_{AC}=\frac{4-1}{6-0}=\frac12,\quad a=-2,\quad \frac52=-2\cdot3+b\Rightarrow b=\frac{17}{2}\]

Odpowiedź

Pole kwadratu wynosi 45/2, a współczynniki prostej k to a = −2 oraz b = 17/2.

\[P=\frac{45}{2},\qquad k:\ y=-2x+\frac{17}{2}\]

Sprawdzenie

Punkt przecięcia przekątnych należy do wyznaczonej prostej, a iloczyn jej współczynnika kierunkowego i współczynnika kierunkowego AC wynosi −1. Zatem prosta przechodzi przez środek AC i jest do niej prostopadła, jak wymaga tego przekątna BD kwadratu.

\[-2\cdot3+\frac{17}{2}=\frac52,\qquad (-2)\cdot\frac12=-1\]