Zamknięte1 pkt
Równanie \(4(x-1)^2(x^2-25)=0\) w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A
dwa rozwiązania.
B
trzy rozwiązania.
C
cztery rozwiązania.
D
pięć rozwiązań.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zastosowanie zasady iloczynu zerowego
Stała 4 nie jest zerem, więc iloczyn jest równy zeru wtedy, gdy zeruje się jeden z pozostałych czynników.
\[4(x-1)^2(x^2-25)=0\iff (x-1)^2=0\ \text{lub}\ x^2-25=0\]
2 Wyznaczenie rozwiązań
Pierwsze równanie daje jedno rozwiązanie, a drugie rozwiązujemy przez rozkład różnicy kwadratów.
\[(x-1)^2=0\iff x=1,\qquad x^2-25=(x-5)(x+5)=0\iff x=5\ \text{lub}\ x=-5\]
Odpowiedź
Równanie ma trzy rozwiązania: −5, 1 i 5. Odpowiedź B.
\[x\in\{-5,1,5\}\]
Sprawdzenie
Liczby −5 i 5 zerują czynnik x²−25, a liczba 1 zeruje czynnik (x−1)². Są to trzy różne liczby rzeczywiste; zasada iloczynu zerowego wyklucza inne rozwiązania.
\[(-5)^2-25=0,\qquad (1-1)^2=0,\qquad 5^2-25=0\]