Zamknięte1 pkt
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(500+50x)(16-x)\).
Największa wartość funkcji \(f\) w przedziale \(\langle 0,14\rangle\) jest równa
A
\(f(3)\)
B
\(f(4)\)
C
\(f(7)\)
D
\(f(14)\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przekształcenie wzoru
Sprowadzamy funkcję do postaci kanonicznej, aby odczytać wierzchołek paraboli.
\[f(x)=(500+50x)(16-x)=-50x^2+300x+8000=-50(x-3)^2+8450\]
2 Wyznaczenie maksimum
Kwadrat jest nieujemny, więc największą wartość otrzymujemy dla \(x=3\). Liczba \(3\) należy do przedziału \([0,14]\).
\[f(3)=8450\]
Odpowiedź
Największa wartość wynosi 8450. Odpowiedź A: \(f(3)\).
\[\max_{x\in[0,14]}f(x)=f(3)=8450\]
Sprawdzenie
Dla każdego \(x\) z podanego przedziału zachodzi \((x-3)^2\geq 0\), zatem \(f(x)\leq 8450\). Równość zachodzi dla \(x=3\), więc jest to maksimum w całym przedziale.
\[f(x)=8450-50(x-3)^2\leq 8450=f(3)\]