Zamknięte1 pkt
Kwadrat \(\mathcal{K}_2\) jest podobny do kwadratu \(\mathcal{K}_1\) w skali \(5\) (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa \(78\).
Długość boku kwadratu \(\mathcal{K}_1\) jest równa
A
\(\sqrt{3}\)
B
\(3\)
C
\(\sqrt{13}\)
D
\(13\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Oznaczenie boków
Oznaczamy bok mniejszego kwadratu przez dodatnią liczbę \(x\). Skala podobieństwa równa 5 oznacza, że bok większego kwadratu ma długość \(5x\).
\[x>0,\qquad a_{\mathcal K_1}=x,\qquad a_{\mathcal K_2}=5x\]
2 Obliczenie długości boku
Pole kwadratu jest kwadratem długości jego boku. Korzystamy z podanej sumy pól i rozwiązujemy równanie.
\[x^2+(5x)^2=78\;\Longrightarrow\;26x^2=78\;\Longrightarrow\;x^2=3\;\Longrightarrow\;x=\sqrt{3}\]
Odpowiedź
Długość boku kwadratu \(\mathcal K_1\) wynosi \(\sqrt{3}\). Odpowiedź A.
\[\boxed{\mathrm{A}:\ \sqrt{3}}\]
Sprawdzenie
Dla boku \(\sqrt{3}\) pola kwadratów wynoszą odpowiednio 3 i 75, więc ich suma to 78. Długość boku jest dodatnia.
\[(\sqrt{3})^2+(5\sqrt{3})^2=3+75=78\]