Arkusz maturalny

Matematyka — matura 2024

Poziom podstawowyMajFormuła 2015

Zobacz zadania i rozwiązania 36 zadań z arkusza

ArkuszPobierz PDF KluczPobierz PDF

Zadania z arkusza — rozwiązania krok po kroku

36 zadań · Rozwiń rozwiązanie pod wybranym zadaniem.

Zadanie 1

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Na początku sezonu letniego cenę $x$ pary sandałów podwyższono o $20\%$. Po miesiącu nową cenę obniżono o $10\%$. Po obu tych zmianach ta para sandałów kosztowała 81 zł. Początkowa cena $x$ pary sandałów była równa

45 zł

73,63 zł

75 zł

87,48 zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie zmian ceny

Podwyżka o 20% oznacza pomnożenie ceny przez 1,2, a obniżka nowej ceny o 10% — przez 0,9.

\[x\cdot 1{,}2\cdot 0{,}9=81\]

2 Obliczenie ceny początkowej

Łączny mnożnik wynosi 1,08, więc dzielimy obie strony równania przez 1,08.

\[1{,}08x=81\quad\Rightarrow\quad x=\frac{81}{1{,}08}=75\]

Odpowiedź

Początkowa cena wynosiła 75 zł. Odpowiedź C.

\[x=75\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po podwyżce cena 75 zł wynosi 90 zł, a po obniżce o 10% wynosi 81 zł, zgodnie z treścią zadania.

\[75\cdot 1{,}2=90,\qquad 90\cdot 0{,}9=81\]

Zadanie 2

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba $\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot 8^{16}$ jest równa

$2^{24}$

$2^{16}$

$2^{12}$

$2^8$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie liczb jako potęg dwójki

Liczby 16 i 8 są potęgami dwójki, więc można zastosować prawa działań na potęgach.

\[\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot 8^{16}=(2^{-4})^8\cdot(2^3)^{16}\]

2 Obliczenie wykładnika

Przy potęgowaniu potęgi mnożymy wykładniki, a przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy je.

\[(2^{-4})^8\cdot(2^3)^{16}=2^{-32}\cdot2^{48}=2^{16}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[2^{16}\]

Sprawdzenie

Kontrola: zapisując 8¹⁶ jako (2⁴)¹², otrzymujemy 16¹²/16⁸ = 16⁴ = 2¹⁶.

\[\left(\frac{1}{16}\right)^8\cdot 8^{16}=\frac{(2^3)^{16}}{(2^4)^8}=\frac{2^{48}}{2^{32}}=2^{16}\]

Zadanie 3

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba $\log_{\sqrt{3}}9$ jest równa

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie logarytmu jako wykładnika

Logarytm wskazuje wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę, aby otrzymać 9.

\[\log_{\sqrt{3}}9=x\iff(\sqrt{3})^x=9\]

2 Sprowadzenie do tej samej podstawy

Zapisujemy obie strony jako potęgi liczby 3, aby porównać wykładniki.

\[(3^{\frac12})^x=3^2\iff\frac{x}{2}=2\iff x=4\]

Odpowiedź

C. Liczba jest równa 4.

\[\log_{\sqrt{3}}9=4\]

Sprawdzenie

Podstawa logarytmu jest dodatnia i różna od 1. Ponadto jej czwarta potęga wynosi 9.

\[\sqrt{3}>0,\quad\sqrt{3}\ne1,\quad(\sqrt{3})^4=9\]

Zadanie 4

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ i dla każdej liczby rzeczywistej $b$ wartość wyrażenia $(2a+b)^2-(2a-b)^2$ jest równa wartości wyrażenia

$8a^2$

$8ab$

$-8ab$

$2b^2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadraty

Stosujemy wzory na kwadrat sumy i różnicy, aby zapisać wyrażenie jako sumę wyrazów podobnych.

\[(2a+b)^2=4a^2+4ab+b^2,\qquad (2a-b)^2=4a^2-4ab+b^2\]

2 Odejmij wyrażenia

Po odjęciu wyrazy z $a^2$ i $b^2$ się redukują.

\[(4a^2+4ab+b^2)-(4a^2-4ab+b^2)=8ab\]

Odpowiedź

Wynik to $8ab$, czyli odpowiedź B.

\[8ab\]

Sprawdzenie

Wzór na różnicę kwadratów daje ten sam wynik dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$.

\[(2a+b)^2-(2a-b)^2=((2a+b)-(2a-b))((2a+b)+(2a-b))=2b\cdot4a=8ab\]

Zadanie 5

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

\[1-\frac{3}{2}x<\frac{2}{3}-x\]

jest przedział

$\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)$

$\left(-\infty,\frac{2}{3}\right)$

$\left(-\frac{2}{3},+\infty\right)$

$\left(\frac{2}{3},+\infty\right)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zbierz wyrazy

Przenosimy wyrazy z niewiadomą na prawą stronę, a liczby na lewą.

\[1-\frac{2}{3}<\frac{3}{2}x-x\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{3}<\frac{1}{2}x\]

2 Wyznacz x

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 2, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[\frac{2}{3}<x\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: przedział $\left(\frac{2}{3},+\infty\right)$.

\[x\in\left(\frac{2}{3},+\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla $x=\frac{2}{3}$ obie strony początkowej nierówności są równe 0, więc koniec przedziału nie należy do zbioru rozwiązań. Dla $x=1$ otrzymujemy $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}$, zgodnie z wynikiem.

\[1-\frac{3}{2}\cdot\frac{2}{3}=0=\frac{2}{3}-\frac{2}{3},\qquad 1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}<\frac{2}{3}-1=-\frac{1}{3}\]

Zadanie 6

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Największą liczbą będącą rozwiązaniem rzeczywistym równania $x(x+2)(x^2+9)=0$ jest

$-2$

$0$

$2$

$3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rozwiązań rzeczywistych

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest zerem. Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, czynnik $x^2+9$ nie może być zerem.

\[x(x+2)(x^2+9)=0\iff x=0\ \text{lub}\ x+2=0\iff x=0\ \text{lub}\ x=-2\]

2 Wybór największego rozwiązania

Spośród otrzymanych liczb większa jest $0$, co odpowiada odpowiedzi B.

\[0>-2\]

Odpowiedź

Największym rozwiązaniem rzeczywistym jest 0. Odpowiedź B.

\[\boxed{0}\]

Sprawdzenie

Dla 0 i −2 iloczyn wynosi 0. Dla każdej liczby rzeczywistej czynnik $x^2+9$ jest dodatni, więc innych rozwiązań rzeczywistych nie ma.

\[0(0+2)(0^2+9)=0,\quad (-2)(-2+2)((-2)^2+9)=0,\quad x^2+9\geq 9>0\]

Zadanie 7

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Równanie $\frac{x+1}{(x+2)(x-3)}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych

nie ma rozwiązania.

ma dokładnie jedno rozwiązanie: $-1$.

ma dokładnie dwa rozwiązania: $-2$ oraz $3$.

ma dokładnie trzy rozwiązania: $-1$, $-2$ oraz $3$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik ułamka nie może być równy zeru, więc wykluczamy jego miejsca zerowe.

\[(x+2)(x-3)\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq -2\ \text{oraz}\ x\neq 3\]

2 Wyzerowanie licznika

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest równy zeru, a mianownik jest różny od zera.

\[x+1=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie: −1. Odpowiedź B.

\[x=-1\]

Sprawdzenie

Liczba −1 należy do dziedziny. Po podstawieniu licznik wynosi 0, a mianownik −4, więc równanie jest spełnione.

\[\frac{-1+1}{(-1+2)(-1-3)}=\frac{0}{-4}=0\]

Zadanie 8

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

W październiku 2022 roku założono dwa sady, w których posadzono łącznie $1960$ drzew. Po roku stwierdzono, że uschło $5\%$ drzew w pierwszym sadzie i $10\%$ drzew w drugim sadzie. Uschnięte drzewa usunięto, a nowych nie dosadzano.

Liczba drzew, które pozostały w drugim sadzie, stanowiła $60\%$ liczby drzew, które pozostały w pierwszym sadzie.

Niech $x$ oraz $y$ oznaczają liczby drzew posadzonych – odpowiednio – w pierwszym i drugim sadzie.

Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby $x$ drzew posadzonych w pierwszym sadzie oraz liczby $y$ drzew posadzonych w drugim sadzie, jest

$\begin{cases}x+y=1960\\0{,}6\cdot0{,}95x=0{,}9y\end{cases}$

$\begin{cases}x+y=1960\\0{,}95x=0{,}6\cdot0{,}9y\end{cases}$

$\begin{cases}x+y=1960\\0{,}05x=0{,}6\cdot0{,}1y\end{cases}$

$\begin{cases}x+y=1960\\0{,}4\cdot0{,}95x=0{,}9y\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Łączna liczba drzew

Suma drzew posadzonych w obu sadach wynosiła 1960.

\[x+y=1960\]

2 Drzewa pozostałe po roku

W pierwszym sadzie pozostało 95% drzew, a w drugim 90%. Liczba pozostałych drzew w drugim sadzie stanowiła 60% liczby pozostałych w pierwszym.

\[0{,}9y=0{,}6\cdot0{,}95x\]

3 Wybór odpowiedzi

Oba otrzymane równania tworzą układ podany w odpowiedzi A.

\[\begin{cases}x+y=1960\\0{,}6\cdot0{,}95x=0{,}9y\end{cases}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\begin{cases}x+y=1960\\0{,}6\cdot0{,}95x=0{,}9y\end{cases}\]

Sprawdzenie

Z układu otrzymujemy x=1200 i y=760. Po roku pozostało odpowiednio 1140 i 684 drzew; 684 stanowi 60% z 1140, a 1200+760=1960.

\[0{,}95\cdot1200=1140,\quad 0{,}9\cdot760=684=0{,}6\cdot1140\]

Zadanie 9

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna trzech liczb: $a$, $b$, $c$, jest równa $9$.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb: $a$, $a$, $b$, $b$, $c$, $c$, jest równa

$9$

$6$

$4{,}5$

$18$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Suma trzech liczb

Średnia to suma liczb podzielona przez ich liczbę, więc z podanej średniej wyznaczamy sumę.

\[\frac{a+b+c}{3}=9\quad\Rightarrow\quad a+b+c=27\]

2 Średnia sześciu liczb

Każda z liczb występuje dwa razy, dlatego sumę podwajamy i dzielimy przez sześć.

\[\frac{a+a+b+b+c+c}{6}=\frac{2(a+b+c)}{6}=\frac{2\cdot27}{6}=9\]

Odpowiedź

Średnia wynosi 9. Odpowiedź A.

\[9\]

Sprawdzenie

Podwojenie sumy i liczby składników nie zmienia średniej: 54 podzielone przez 6 daje 9.

\[\frac{54}{6}=9\]

Zadanie 10

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Układy równań

Na rysunku przedstawiono dwie proste równoległe, które są interpretacją geometryczną jednego z poniższych układów równań A–D.

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest

Układ współrzędnych z dwiema malejącymi prostymi równoległymi; osie x i y, początek układu oraz oznaczenia jednostek na osiach.

$\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{3}{2}x-1\end{cases}$

$\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{2}{3}x-1\end{cases}$

$\begin{cases}y=\frac{3}{2}x+3\\y=\frac{3}{2}x-1\end{cases}$

$\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x-3\\y=\frac{3}{2}x+1\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie kierunku prostych

Obie proste opadają, gdy przesuwamy się w prawo, więc ich współczynniki kierunkowe są ujemne. Są równoległe, zatem mają ten sam współczynnik kierunkowy.

\[a_1=a_2<0\]

2 Odczytanie przecięć z osią y

Górna prosta przecina oś y w punkcie o rzędnej 3, a dolna w punkcie o rzędnej −1. Spośród podanych układów oba te warunki spełnia A.

\[\begin{cases}y=-\frac{3}{2}x+3\\y=-\frac{3}{2}x-1\end{cases}\]

Odpowiedź

\[\boxed{\mathrm{A}}\]

Sprawdzenie

Oba równania mają współczynnik kierunkowy −3/2, więc opisują proste równoległe i malejące. Dla x=0 otrzymujemy odpowiednio y=3 oraz y=−1, zgodnie z rysunkiem.

\[x=0\quad\Longrightarrow\quad y_1=3,\qquad y_2=-1\]

Zadanie 11

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$.

Zbiorem wartości tej funkcji jest

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych: punkt pełny (-6,3), punkt pusty (-6,4), odcinek poziomy od (-6,4) do (-1,4), odcinek malejący do (1,1) oraz odcinek poziomy do punktu pełnego (6,1).

$(-6,6\rangle$

$\langle1,4)$

$\langle1,4\rangle$

$\langle-6,6\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie wartości skrajnych

Najniższa wartość na wykresie to 1, a najwyższa to 4. Obie są przyjmowane przez funkcję.

\[f(1)=1,\qquad f(-1)=4\]

2 Wyznaczenie zbioru wartości

Malejący odcinek wykresu przyjmuje każdą wartość między 4 a 1, więc do zbioru należą także wszystkie wartości pośrednie.

\[W_f=\langle 1,4\rangle\]

Odpowiedź

Zbiór wartości funkcji to ⟨1,4⟩. Odpowiedź C.

\[W_f=\langle 1,4\rangle\]

Sprawdzenie

Wartości 1 i 4 są osiągane, a żaden punkt wykresu nie leży poniżej 1 ani powyżej 4.

\[1\leq f(x)\leq 4\]

Zadanie 12

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=(-2k+3)x+k-1$, gdzie $k\in\mathbb{R}$. Funkcja $f$ jest malejąca dla każdej liczby $k$ należącej do przedziału

$(-\infty,1)$

$(-\infty,-\frac{3}{2})$

$(1,+\infty)$

$(\frac{3}{2},+\infty)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek malejącości

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy współczynnik przy $x$ jest ujemny.

\[-2k+3<0\]

2 Rozwiązanie nierówności

Odejmujemy $3$, a następnie dzielimy przez $-2$, zmieniając zwrot nierówności.

\[-2k<-3\quad\Longrightarrow\quad k>\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Funkcja jest malejąca dla $k\in(\frac{3}{2},+\infty)$. Odpowiedź D.

\[k\in\left(\frac{3}{2},+\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla $k=\frac{3}{2}$ współczynnik przy $x$ wynosi $0$, więc funkcja jest stała. Dla każdego większego $k$ jest ujemny, zgodnie z otrzymanym przedziałem.

\[-2\cdot\frac{3}{2}+3=0\]

Zadanie 13

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcje liniowe $f$ oraz $g$, określone wzorami $f(x)=3x+6$ oraz $g(x)=ax+7$, mają to samo miejsce zerowe. Współczynnik $a$ we wzorze funkcji $g$ jest równy

$-\frac{7}{2}$

$-\frac{2}{7}$

$\frac{2}{7}$

$\frac{7}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wspólnego miejsca zerowego

Ponieważ funkcje mają to samo miejsce zerowe, najpierw rozwiązujemy równanie $f(x)=0$.

\[3x+6=0\quad\Rightarrow\quad x=-2\]

2 Obliczenie współczynnika

W miejscu zerowym $x=-2$ także funkcja $g$ przyjmuje wartość zero.

\[g(-2)=-2a+7=0\quad\Rightarrow\quad a=\frac{7}{2}\]

Odpowiedź

Współczynnik $a$ jest równy $\frac{7}{2}$. Odpowiedź D.

\[a=\frac{7}{2}\]

Sprawdzenie

Dla $a=\frac{7}{2}$ obie funkcje przyjmują wartość zero przy $x=-2$, więc mają wspólne miejsce zerowe.

\[f(-2)=3\cdot(-2)+6=0,\qquad g(-2)=\frac{7}{2}\cdot(-2)+7=0\]

Zadanie 14

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli oraz punkty przecięcia paraboli z osiami układu współrzędnych mają obie współrzędne całkowite.

Funkcja kwadratowa $f$ jest określona wzorem

$Wykres funkcji $y=f(x)$ w układzie współrzędnych.$

$f(x)=-(x+1)^2-9$

$f(x)=-(x-1)^2+9$

$f(x)=-(x-1)^2-9$

$f(x)=-(x+1)^2+9$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie wierzchołka

Z wykresu odczytujemy wierzchołek $(1,9)$. Dlatego zapisujemy funkcję w postaci kanonicznej.

\[f(x)=a(x-1)^2+9\]

2 Wyznaczenie współczynnika

Parabola przecina oś $y$ w punkcie $(0,8)$. Podstawiamy te współrzędne, aby obliczyć $a$.

\[8=a(0-1)^2+9\quad\Rightarrow\quad a=-1\]

Odpowiedź

Pasuje odpowiedź B.

\[f(x)=-(x-1)^2+9\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanego wzoru miejsca zerowe wynoszą $-2$ i $4$, zgodnie z wykresem. Ponadto $f(0)=8$.

\[-(x-1)^2+9=0\quad\Rightarrow\quad (x-1)^2=9\quad\Rightarrow\quad x=-2\ \text{lub}\ x=4\]

Zadanie 15

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Dla funkcji $f$ prawdziwa jest równość

$Układ współrzędnych z fragmentem paraboli skierowanej ramionami w dół, oznaczonej $y=f(x)$.$

$f(-4)=f(6)$

$f(-4)=f(4)$

$f(-4)=f(5)$

$f(-4)=f(7)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie osi symetrii

Wierzchołek paraboli ma współrzędną x równą 1, więc oś symetrii ma równanie x=1.

\[x=1\]

2 Wyznaczenie punktu symetrycznego

Argumenty o tej samej wartości funkcji leżą w jednakowej odległości od osi symetrii. Argument symetryczny do −4 to 6.

\[1-(-4)=5,\qquad 1+5=6,\qquad f(-4)=f(6)\]

Odpowiedź

Prawidłowa odpowiedź: A.

\[f(-4)=f(6)\]

Sprawdzenie

Miejsca zerowe odczytane z wykresu to −2 i 4, więc ich środek wynosi 1. Zgadza się to z osią symetrii i wyznaczoną parą argumentów.

\[\frac{-2+4}{2}=1,\qquad \frac{-4+6}{2}=1\]

Zadanie 16

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

W ciągu arytmetycznym $(a_n)$, określonym dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$, dane są wyrazy $a_4=-2$ oraz $a_6=16$. Piąty wyraz tego ciągu jest równy

$\frac{7}{2}$

$\frac{9}{2}$

$7$

$9$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy ciągu

Od czwartego do szóstego wyrazu są dwa kroki, więc różnica ciągu jest połową różnicy tych wyrazów.

\[r=\frac{a_6-a_4}{2}=\frac{16-(-2)}{2}=9\]

2 Obliczenie piątego wyrazu

Do czwartego wyrazu dodajemy jedną różnicę ciągu.

\[a_5=a_4+r=-2+9=7\]

Odpowiedź

Piąty wyraz jest równy 7. Odpowiedź C.

\[a_5=7\]

Sprawdzenie

Dodanie różnicy do piątego wyrazu daje podany szósty wyraz.

\[a_5+r=7+9=16=a_6\]

Zadanie 17

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg geometryczny $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2^{n-1}$, dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Iloraz tego ciągu jest równy

$\frac{1}{2}$

$(-2)$

$2$

$1$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie ilorazu

Iloraz ciągu geometrycznego to stosunek kolejnego wyrazu do poprzedniego. Dzieląc potęgi o tej samej podstawie, odejmujemy wykładniki.

\[q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^n}{2^{n-1}}=2^{n-(n-1)}=2\]

Odpowiedź

Iloraz wynosi 2. Poprawna odpowiedź: C.

\[q=2\]

Sprawdzenie

Pierwsze dwa wyrazy to 1 i 2, więc ich stosunek również wynosi 2.

\[a_1=2^0=1,\quad a_2=2^1=2,\quad \frac{a_2}{a_1}=2\]

Zadanie 18

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg $(b_n)$ jest określony wzorem $b_n=(n+2)(7-n)$, dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Liczba dodatnich wyrazów ciągu $(b_n)$ jest równa

$6$

$7$

$8$

$9$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie warunku dodatniości

Dla n≥1 czynnik n+2 jest dodatni, więc iloczyn jest dodatni dokładnie wtedy, gdy 7−n>0.

\[b_n>0\iff 7-n>0\iff n<7\]

2 Policzenie wyrazów

Naturalne indeksy spełniające warunek to 1, 2, 3, 4, 5 i 6.

\[n\in\{1,2,3,4,5,6\}\implies 6\text{ wyrazów dodatnich}\]

Odpowiedź

Ciąg ma 6 dodatnich wyrazów. Odpowiedź A.

\[\boxed{6\text{ — A}}\]

Sprawdzenie

Ostatni z nich, b₆, jest dodatni. Następny, b₇, jest równy zero, a dla większych indeksów wyrazy są ujemne.

\[b_6=(6+2)(7-6)=8>0,\quad b_7=(7+2)(7-7)=0\]

Zadanie 19

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Liczba $\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\cdot\sin 20^\circ$ jest równa

$\cos 20^\circ$

$\sin 20^\circ$

$\operatorname{tg}20^\circ$

$\sin 20^\circ\cdot\cos 20^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

W obu składnikach występuje $\sin 20^\circ$, więc wyłączamy go przed nawias.

\[\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\cdot\sin 20^\circ=\sin 20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)\]

2 Zastosuj jedynkę trygonometryczną

Suma kwadratów sinusa i cosinusa tego samego kąta jest równa 1.

\[\sin 20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)=\sin 20^\circ\cdot 1=\sin 20^\circ\]

Odpowiedź

B. $\sin 20^\circ$

\[\sin 20^\circ\]

Sprawdzenie

Po ponownym wymnożeniu $\sin 20^\circ$ przez $\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ$ otrzymujemy dokładnie wyrażenie z zadania.

\[\sin 20^\circ(\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ)=\sin^3 20^\circ+\cos^2 20^\circ\sin 20^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt $\alpha$ jest ostry oraz $\cos\alpha=\frac{5}{13}$. Wtedy

$\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{13}$

$\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{5}$

$\operatorname{tg}\alpha=\frac{5}{12}$

$\operatorname{tg}\alpha=\frac{13}{12}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej. Ponieważ kąt jest ostry, jego sinus jest dodatni.

\[\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}\]

2 Obliczenie tangensa

Dzielimy sinus przez cosinus.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{12/13}{5/13}=\frac{12}{5}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[\operatorname{tg}\alpha=\frac{12}{5}\]

Sprawdzenie

Otrzymany sinus i podany cosinus spełniają jedynkę trygonometryczną; obie wartości są dodatnie, zgodnie z warunkiem, że kąt jest ostry.

\[\left(\frac{12}{13}\right)^2+\left(\frac{5}{13}\right)^2=\frac{144+25}{169}=1\]

Zadanie 21

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Dany jest równoległobok o bokach długości $3$ i $4$ oraz o kącie między nimi o mierze $120^\circ$. Pole tego równoległoboku jest równe

$6$

$6\sqrt{3}$

$12$

$12\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sinusa kąta

Kąty 120° i 60° są dopełniające do 180°, więc mają ten sam sinus.

\[\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\]

2 Obliczenie pola

Pole równoległoboku jest iloczynem długości sąsiednich boków i sinusa kąta między nimi.

\[P=3\cdot4\cdot\sin 120^\circ=12\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B.

\[P=6\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Wysokość opuszczona na bok długości 3 wynosi 2√3. Iloczyn podstawy i wysokości potwierdza obliczone pole.

\[h=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3},\qquad P=3h=6\sqrt{3}\]

Zadanie 22

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trójkącie $MKC$ bok $MK$ ma długość $24$. Prosta równoległa do boku $MK$ przecina boki $MC$ i $KC$ – odpowiednio – w punktach $A$ oraz $B$ takich, że $|AB|=6$ i $|AC|=3$ (zobacz rysunek).

Długość odcinka $MA$ jest równa

Trójkąt MKC z odcinkiem AB równoległym do boku MK; oznaczono AC=3, AB=6 i MK=24.

$18$

$15$

$9$

$12$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Ponieważ AB jest równoległy do MK, trójkąty CAB i CMK są podobne. Stosunki odpowiadających sobie boków są równe.

\[\frac{AC}{MC}=\frac{AB}{MK}=\frac{6}{24}=\frac14\]

2 Obliczenie MA

Z proporcji wyznaczamy MC, a następnie odejmujemy AC.

\[\frac{3}{MC}=\frac14\implies MC=12,\qquad MA=MC-AC=12-3=9\]

Odpowiedź

Długość odcinka MA wynosi 9. Odpowiedź C.

\[|MA|=9\]

Sprawdzenie

Otrzymane długości dają ten sam stosunek odpowiadających boków: 3 do 12 oraz 6 do 24.

\[\frac{AC}{MC}=\frac{3}{12}=\frac14=\frac{6}{24}=\frac{AB}{MK}\]

Zadanie 23

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trójkącie $ABC$, wpisanym w okrąg o środku w punkcie $S$, kąt $ACB$ ma miarę $42^\circ$ (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego $BAS$ jest równa

Trójkąt ABC wpisany w okrąg o środku S; zaznaczono kąt ACB równy 42° oraz kąt BAS.

$42^\circ$

$45^\circ$

$48^\circ$

$69^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego

Kąt środkowy ASB i kąt wpisany ACB są oparte na tym samym łuku AB, więc kąt środkowy jest dwa razy większy.

\[\angle ASB=2\angle ACB=2\cdot42^\circ=84^\circ\]

2 Obliczenie kąta BAS

Odcinki SA i SB są promieniami okręgu, dlatego trójkąt ASB jest równoramienny, a kąty przy A i B są równe.

\[\angle BAS=\frac{180^\circ-84^\circ}{2}=48^\circ\]

Odpowiedź

Kąt BAS ma miarę 48°. Odpowiedź C.

\[\angle BAS=48^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty trójkąta ASB sumują się do 180°, a otrzymany kąt BAS jest ostry.

\[48^\circ+48^\circ+84^\circ=180^\circ\]

Zadanie 24

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste $k$ oraz $l$ są określone równaniami

$k:\ y=(m+1)x+7$

$l:\ y=-2x+7$

Proste $k$ oraz $l$ są prostopadłe, gdy liczba $m$ jest równa

$\left(-\frac{1}{2}\right)$

$\frac{1}{2}$

$(-3)$

$1$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynników kierunkowych

W równaniu prostej $y=ax+b$ współczynnikiem kierunkowym jest liczba stojąca przy $x$.

\[a_k=m+1,\qquad a_l=-2\]

2 Warunek prostopadłości

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi $-1$. Rozwiązujemy otrzymane równanie.

\[-2(m+1)=-1\quad\Longrightarrow\quad m+1=\frac{1}{2}\quad\Longrightarrow\quad m=-\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[m=-\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości współczynnik kierunkowy prostej $k$ wynosi $\frac{1}{2}$, a iloczyn współczynników obu prostych jest równy $-1$.

\[\left(-\frac{1}{2}+1\right)\cdot(-2)=\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1\]

Zadanie 25

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Na prostej $l$ o współczynniku kierunkowym $\frac{1}{2}$ leżą punkty $A=(2,-4)$ oraz $B=(0,b)$. Wtedy liczba $b$ jest równa

$(-5)$

$10$

$(-2)$

$0$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie współczynnika kierunkowego

Ponieważ oba punkty leżą na tej samej prostej, współczynnik kierunkowy obliczony z ich współrzędnych wynosi $\frac{1}{2}$.

\[\frac{-4-b}{2-0}=\frac{1}{2}\]

2 Wyznaczenie liczby b

Mnożymy równanie przez 2 i rozwiązujemy je względem $b$.

\[-4-b=1\quad\Rightarrow\quad b=-5\]

Odpowiedź

Liczba $b$ jest równa $-5$. Odpowiedź A.

\[b=-5\]

Sprawdzenie

Dla punktów $A=(2,-4)$ i $B=(0,-5)$ współczynnik kierunkowy rzeczywiście wynosi $\frac{1}{2}$.

\[\frac{-4-(-5)}{2-0}=\frac{1}{2}\]

Zadanie 26

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Wysokość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa $6$ (zobacz rysunek). Pole podstawy tego graniastosłupa jest równe $15\sqrt{3}$.

Pole jednej ściany bocznej tego graniastosłupa jest równe

Graniastosłup prawidłowy sześciokątny z wysokością oznaczoną liczbą 6; niewidoczne krawędzie zaznaczono liniami przerywanymi.

$36\sqrt{10}$

$60$

$6\sqrt{10}$

$360$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku podstawy

Podstawa jest sześciokątem foremnym. Korzystamy ze wzoru na jego pole, aby wyznaczyć długość boku a.

\[\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2=15\sqrt{3}\quad\Rightarrow\quad a^2=10\quad\Rightarrow\quad a=\sqrt{10}\]

2 Obliczenie pola ściany bocznej

Ściana boczna jest prostokątem o bokach a i 6, więc jej pole jest iloczynem tych długości.

\[P=a\cdot 6=6\sqrt{10}\]

Odpowiedź

Pole jednej ściany bocznej wynosi 6√10. Odpowiedź C.

\[6\sqrt{10}\]

Sprawdzenie

Dla boku √10 pole podstawy wynosi 15√3, zgodnie z treścią zadania.

\[\frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{10})^2=15\sqrt{3}\]

Zadanie 27

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Kąt nachylenia najdłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego do płaszczyzny podstawy jest zaznaczony na rysunku

Graniastosłup sześciokątny z przekątną biegnącą od górnego tylnego wierzchołka do dolnego przedniego wierzchołka; kąt zaznaczony przy dolnym przednim wierzchołku.

Graniastosłup sześciokątny z przekątną biegnącą od dolnego przedniego wierzchołka do górnego prawego wierzchołka; kąt zaznaczony przy dolnym przednim wierzchołku.

Graniastosłup sześciokątny z przekątną biegnącą od górnego tylnego wierzchołka do dolnego przedniego wierzchołka; kąt zaznaczony przy dolnym przednim wierzchołku.

Graniastosłup sześciokątny z przekątną biegnącą od dolnego przedniego wierzchołka do górnego tylnego prawego wierzchołka; kąt zaznaczony przy dolnym przednim wierzchołku.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór przekątnej

Najdłuższa przekątna graniastosłupa łączy wierzchołki, których rzuty na podstawę są przeciwległymi wierzchołkami sześciokąta foremnego. Odległość tych rzutów jest średnicą okręgu opisanego na podstawie.

\[d_{\text{rzutu}}=2a\]

2 Wyznaczenie kąta

Kąt nachylenia prostej do płaszczyzny to kąt między prostą a jej rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę. Taką przekątną i jej rzut zaznaczono na rysunku D.

\[\alpha=\angle(\text{przekątna graniastosłupa},\text{jej rzut na podstawę})\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\boxed{D}\]

Sprawdzenie

Na rysunku D górny koniec przekątnej leży nad wierzchołkiem podstawy przeciwległym do jej dolnego końca. Zaznaczony kąt ma za ramiona przekątną i jej rzut na podstawę.

Zadanie 28

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $64$. Wysokość tego ostrosłupa jest równa $12$.

Długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa jest równa

$2$

$4$

$6$

$8$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie wzoru na objętość

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat o boku $a$, więc jego pole wynosi $a^2$. Korzystamy ze wzoru na objętość ostrosłupa.

\[64=\frac{1}{3}a^2\cdot12=4a^2\]

2 Obliczenie długości boku

Dzielimy równanie przez $4$ i wybieramy dodatni pierwiastek, ponieważ długość krawędzi jest dodatnia.

\[a^2=16,\qquad a=4\]

Odpowiedź

Długość krawędzi podstawy wynosi 4. Odpowiedź B.

\[a=4\]

Sprawdzenie

Dla boku 4 pole podstawy wynosi 16, a obliczona objętość jest równa podanej w zadaniu.

\[V=\frac{1}{3}\cdot16\cdot12=64\]

Zadanie 29

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Rozważamy wszystkie kody czterocyfrowe utworzone tylko z cyfr $1$, $3$, $6$, $8$, przy czym w każdym kodzie każda z tych cyfr występuje dokładnie jeden raz.

Liczba wszystkich takich kodów jest równa

$4$

$10$

$24$

$16$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz możliwości na kolejnych miejscach

Cyfry nie mogą się powtarzać. Na pierwszym miejscu są 4 możliwości, a na każdym następnym o jedną mniej. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę kodów.

\[4\cdot3\cdot2\cdot1=24\]

Odpowiedź

Istnieją 24 takie kody. Odpowiedź C.

\[24\]

Sprawdzenie

Dla każdej z 4 cyfr na pierwszym miejscu pozostałe 3 cyfry można ustawić na 6 sposobów, więc łącznie jest 24 kodów.

\[4\cdot(3\cdot2\cdot1)=4\cdot6=24\]

Zadanie 30

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność

$x^{2}-4\leq 3x$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przeniesienie na jedną stronę

Aby porównać wyrażenie z zerem, odejmujemy od obu stron 3x.

\[x^{2}-4\leq 3x\iff x^{2}-3x-4\leq 0\]

2 Rozłożenie na czynniki

Iloczyn pozwala wyznaczyć miejsca zerowe i znak wyrażenia.

\[x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1),\quad x=4\ \text{lub}\ x=-1\]

3 Wyznaczenie przedziału

Iloczyn dwóch czynników jest niedodatni między miejscami zerowymi, wraz z nimi.

\[(x-4)(x+1)\leq 0\iff -1\leq x\leq 4\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział domknięty od −1 do 4.

\[x\in[-1,4]\]

Sprawdzenie

Na obu końcach iloczyn wynosi zero. Dla x=0, leżącego między nimi, wynosi −4; dla x=−2 i x=5 wynosi odpowiednio 6 i 6. Potwierdza to, że nierówność zachodzi dokładnie w podanym przedziale.

\[(-1-4)(-1+1)=0,\quad(4-4)(4+1)=0,\quad(0-4)(0+1)=-4,\quad(-2-4)(-2+1)=6,\quad(5-4)(5+1)=6\]

Zadanie 31

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $x \neq y$, prawdziwa jest nierówność

$(3x+y)(x+3y)>16xy$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wykazać nierówność, obliczamy różnicę jej lewej i prawej strony.

\[(3x+y)(x+3y)-16xy=3x^2+10xy+3y^2-16xy=3(x-y)^2\]

2 Wykorzystaj warunek

Ponieważ x i y są rzeczywiste oraz x≠y, kwadrat ich różnicy jest dodatni.

\[x\neq y\implies (x-y)^2>0\implies (3x+y)(x+3y)-16xy>0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla każdej pary liczb rzeczywistych x≠y.

\[(3x+y)(x+3y)>16xy\]

Sprawdzenie

Różnica stron wynosi 3(x−y)². Jest dodatnia dokładnie przy x≠y, zgodnie z warunkiem zadania.

\[(3x+y)(x+3y)-16xy=3(x-y)^2>0\]

Zadanie 32

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f(x)=x^{2}+bx+c$ jest prosta o równaniu $x=-2$. Jednym z miejsc zerowych funkcji $f$ jest liczba $1$.

Oblicz współczynniki $b$ oraz $c$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika b

Oś symetrii funkcji kwadratowej o współczynniku przy $x^2$ równym 1 ma równanie $x=-\frac{b}{2}$. Podstawiamy podaną oś.

\[-\frac{b}{2}=-2\quad\Longrightarrow\quad b=4\]

2 Wyznaczenie współczynnika c

Ponieważ 1 jest miejscem zerowym, mamy $f(1)=0$.

\[1^2+4\cdot1+c=0\quad\Longrightarrow\quad c=-5\]

Odpowiedź

Współczynniki wynoszą $b=4$ oraz $c=-5$.

\[b=4,\quad c=-5\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej funkcji $f(1)=0$, a jej oś symetrii ma równanie $x=-2$. Oba warunki zadania są spełnione.

\[f(1)=1+4-5=0,\qquad x=-\frac{4}{2}=-2\]

Zadanie 33

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ jest określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $(-1)$, a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa $(-165)$.

Oblicz różnicę tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz dane za pomocą różnicy

W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz otrzymujemy, dodając do pierwszego dwukrotnie różnicę.

\[a_3=a_1+2d=-1\]

2 Wykorzystaj sumę wyrazów

Ze wzoru na sumę piętnastu początkowych wyrazów otrzymujemy drugie równanie.

\[S_{15}=\frac{15}{2}(2a_1+14d)=15(a_1+7d)=-165,\quad a_1+7d=-11\]

3 Oblicz różnicę

Odejmujemy równanie dla trzeciego wyrazu od równania dla sumy, aby wyeliminować pierwszy wyraz.

\[(a_1+7d)-(a_1+2d)=-11-(-1),\quad 5d=-10,\quad d=-2\]

Odpowiedź

Różnica ciągu wynosi −2.

\[d=-2\]

Sprawdzenie

Z pierwszego równania wynika, że pierwszy wyraz to 3. Wtedy trzeci wyraz jest równy −1, a suma piętnastu wyrazów wynosi −165.

\[a_1=-1-2(-2)=3,\quad a_3=3+2(-2)=-1,\quad S_{15}=15(3+7(-2))=-165\]

Zadanie 34

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dany jest równoległobok $ABCD$, w którym $A=(-2,6)$ oraz $B=(10,2)$. Przekątne $AC$ oraz $BD$ tego równoległoboku przecinają się w punkcie $P=(6,7)$.

Oblicz długość boku $BC$ tego równoległoboku.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu C

Przekątne równoległoboku dzielą się na połowy, więc P jest środkiem odcinka AC.

\[C=2P-A=(2\cdot6-(-2),\,2\cdot7-6)=(14,8)\]

2 Obliczenie długości BC

Stosujemy wzór na odległość punktów B i C.

\[|BC|=\sqrt{(14-10)^2+(8-2)^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\]

Odpowiedź

Długość boku BC wynosi $2\sqrt{13}$.

\[|BC|=2\sqrt{13}\]

Sprawdzenie

Środek odcinka AC ma współrzędne P, a kwadrat długości BC wynosi 52.

\[\left(\frac{-2+14}{2},\frac{6+8}{2}\right)=(6,7),\qquad (14-10)^2+(8-2)^2=52\]

Zadanie 35

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dany jest pięcioelementowy zbiór $K=\{5,6,7,8,9\}$. Wylosowanie każdej liczby z tego zbioru jest jednakowo prawdopodobne. Ze zbioru $K$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policzenie wszystkich wyników

Losujemy dwukrotnie ze zwracaniem, więc za każdym razem mamy 5 możliwości. Kolejność losowania ma znaczenie.

\[|\Omega|=5\cdot 5=25\]

2 Policzenie wyników sprzyjających

Suma jest parzysta, gdy obie liczby są parzyste albo obie są nieparzyste. W zbiorze są 2 liczby parzyste i 3 nieparzyste.

\[|A|=2\cdot 2+3\cdot 3=13\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Wszystkie uporządkowane pary są jednakowo prawdopodobne, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{13}{25}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 13/25.

\[P(A)=\frac{13}{25}\]

Sprawdzenie

Suma jest nieparzysta w 2·3+3·2=12 przypadkach. Pozostałych jest 25−12=13, co potwierdza wynik.

\[25-(2\cdot 3+3\cdot 2)=13\]

Zadanie 36

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej $108$ stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy $\frac{1}{4}$.

Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem $\alpha$ (zobacz rysunek).

Oblicz cosinus kąta $\alpha$ oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny z przekątną i zaznaczonym kątem α między przekątną a płaszczyzną podstawy.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wymiarów

Oznaczamy krawędź kwadratowej podstawy przez $a$, a wysokość przez $h$. Z podanego stosunku mamy $h=4a$. Podstawiamy to do wzoru na objętość.

\[108=a^2h=4a^3,\quad a^3=27,\quad a=3,\quad h=12\]

2 Obliczenie cosinusa

Rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątna kwadratu, długości $a\sqrt{2}$. Tworzy ona z wysokością i przekątną graniastosłupa trójkąt prostokątny.

\[\cos\alpha=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{(a\sqrt{2})^2+h^2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{18+144}}=\frac{3\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}=\frac13\]

3 Obliczenie pola całkowitego

Pole całkowite to suma pól dwóch kwadratowych podstaw i czterech prostokątnych ścian bocznych.

\[P_c=2a^2+4ah=2\cdot3^2+4\cdot3\cdot12=162\]

Odpowiedź

Cosinus kąta α wynosi 1/3, a pole powierzchni całkowitej wynosi 162.

\[\cos\alpha=\frac13,\qquad P_c=162\]

Sprawdzenie

Wymiary spełniają warunek stosunku i objętości: 3/12 = 1/4 oraz 3² · 12 = 108. Ponadto cosinus 1/3 należy do przedziału od 0 do 1.

\[\frac{a}{h}=\frac{3}{12}=\frac14,\qquad a^2h=3^2\cdot12=108,\qquad 0<\frac13<1\]