Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \(x \neq y\), prawdziwa jest nierówność
\((3x+y)(x+3y)>16xy\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Aby wykazać nierówność, obliczamy różnicę jej lewej i prawej strony.
\[(3x+y)(x+3y)-16xy=3x^2+10xy+3y^2-16xy=3(x-y)^2\]
2 Wykorzystaj warunek
Ponieważ x i y są rzeczywiste oraz x≠y, kwadrat ich różnicy jest dodatni.
\[x\neq y\implies (x-y)^2>0\implies (3x+y)(x+3y)-16xy>0\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla każdej pary liczb rzeczywistych x≠y.
\[(3x+y)(x+3y)>16xy\]
Sprawdzenie
Różnica stron wynosi 3(x−y)². Jest dodatnia dokładnie przy x≠y, zgodnie z warunkiem zadania.
\[(3x+y)(x+3y)-16xy=3(x-y)^2>0\]