Otwarte2 pkt
Rozwiąż nierówność
\(x^{2}-4\leq 3x\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przeniesienie na jedną stronę
Aby porównać wyrażenie z zerem, odejmujemy od obu stron 3x.
\[x^{2}-4\leq 3x\iff x^{2}-3x-4\leq 0\]
2 Rozłożenie na czynniki
Iloczyn pozwala wyznaczyć miejsca zerowe i znak wyrażenia.
\[x^{2}-3x-4=(x-4)(x+1),\quad x=4\ \text{lub}\ x=-1\]
3 Wyznaczenie przedziału
Iloczyn dwóch czynników jest niedodatni między miejscami zerowymi, wraz z nimi.
\[(x-4)(x+1)\leq 0\iff -1\leq x\leq 4\]
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań jest przedział domknięty od −1 do 4.
\[x\in[-1,4]\]
Sprawdzenie
Na obu końcach iloczyn wynosi zero. Dla x=0, leżącego między nimi, wynosi −4; dla x=−2 i x=5 wynosi odpowiednio 6 i 6. Potwierdza to, że nierówność zachodzi dokładnie w podanym przedziale.
\[(-1-4)(-1+1)=0,\quad(4-4)(4+1)=0,\quad(0-4)(0+1)=-4,\quad(-2-4)(-2+1)=6,\quad(5-4)(5+1)=6\]