Zadanie 36 — matura 2024, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2024 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o objętości równej \(108\) stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości graniastosłupa jest równy \(\frac{1}{4}\).

Przekątna tego graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem \(\alpha\) (zobacz rysunek).

Oblicz cosinus kąta \(\alpha\) oraz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny z przekątną i zaznaczonym kątem α między przekątną a płaszczyzną podstawy.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wymiarów

Oznaczamy krawędź kwadratowej podstawy przez \(a\), a wysokość przez \(h\). Z podanego stosunku mamy \(h=4a\). Podstawiamy to do wzoru na objętość.

\[108=a^2h=4a^3,\quad a^3=27,\quad a=3,\quad h=12\]

2 Obliczenie cosinusa

Rzutem przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątna kwadratu, długości \(a\sqrt{2}\). Tworzy ona z wysokością i przekątną graniastosłupa trójkąt prostokątny.

\[\cos\alpha=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{(a\sqrt{2})^2+h^2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{18+144}}=\frac{3\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}=\frac13\]

3 Obliczenie pola całkowitego

Pole całkowite to suma pól dwóch kwadratowych podstaw i czterech prostokątnych ścian bocznych.

\[P_c=2a^2+4ah=2\cdot3^2+4\cdot3\cdot12=162\]

Odpowiedź

Cosinus kąta α wynosi 1/3, a pole powierzchni całkowitej wynosi 162.

\[\cos\alpha=\frac13,\qquad P_c=162\]

Sprawdzenie

Wymiary spełniają warunek stosunku i objętości: 3/12 = 1/4 oraz 3² · 12 = 108. Ponadto cosinus 1/3 należy do przedziału od 0 do 1.

\[\frac{a}{h}=\frac{3}{12}=\frac14,\qquad a^2h=3^2\cdot12=108,\qquad 0<\frac13<1\]