Zamknięte1 pkt
Ciąg \((b_n)\) jest określony wzorem \(b_n=(n+2)(7-n)\), dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Liczba dodatnich wyrazów ciągu \((b_n)\) jest równa
A
\(6\)
B
\(7\)
C
\(8\)
D
\(9\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie warunku dodatniości
Dla n≥1 czynnik n+2 jest dodatni, więc iloczyn jest dodatni dokładnie wtedy, gdy 7−n>0.
\[b_n>0\iff 7-n>0\iff n<7\]
2 Policzenie wyrazów
Naturalne indeksy spełniające warunek to 1, 2, 3, 4, 5 i 6.
\[n\in\{1,2,3,4,5,6\}\implies 6\text{ wyrazów dodatnich}\]
Odpowiedź
Ciąg ma 6 dodatnich wyrazów. Odpowiedź A.
\[\boxed{6\text{ — A}}\]
Sprawdzenie
Ostatni z nich, b₆, jest dodatni. Następny, b₇, jest równy zero, a dla większych indeksów wyrazy są ujemne.
\[b_6=(6+2)(7-6)=8>0,\quad b_7=(7+2)(7-7)=0\]