Otwarte2 pkt
Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Trzeci wyraz tego ciągu jest równy \((-1)\), a suma piętnastu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa \((-165)\).
Oblicz różnicę tego ciągu.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisz dane za pomocą różnicy
W ciągu arytmetycznym trzeci wyraz otrzymujemy, dodając do pierwszego dwukrotnie różnicę.
\[a_3=a_1+2d=-1\]
2 Wykorzystaj sumę wyrazów
Ze wzoru na sumę piętnastu początkowych wyrazów otrzymujemy drugie równanie.
\[S_{15}=\frac{15}{2}(2a_1+14d)=15(a_1+7d)=-165,\quad a_1+7d=-11\]
3 Oblicz różnicę
Odejmujemy równanie dla trzeciego wyrazu od równania dla sumy, aby wyeliminować pierwszy wyraz.
\[(a_1+7d)-(a_1+2d)=-11-(-1),\quad 5d=-10,\quad d=-2\]
Odpowiedź
Różnica ciągu wynosi −2.
\[d=-2\]
Sprawdzenie
Z pierwszego równania wynika, że pierwszy wyraz to 3. Wtedy trzeci wyraz jest równy −1, a suma piętnastu wyrazów wynosi −165.
\[a_1=-1-2(-2)=3,\quad a_3=3+2(-2)=-1,\quad S_{15}=15(3+7(-2))=-165\]