Arkusz maturalny

Matematyka — matura 2023

Poziom podstawowyMajFormuła 2015

Zobacz zadania i rozwiązania 36 zadań z arkusza

ArkuszPobierz PDF KluczPobierz PDF

Zadania z arkusza — rozwiązania krok po kroku

36 zadań · Rozwiń rozwiązanie pod wybranym zadaniem.

Zadanie 1

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba $\log_{9}27+\log_{9}3$ jest równa

$81$

$9$

$4$

$2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprowadzenie do potęg liczby 3

Podstawa logarytmów i ich argumenty są potęgami liczby 3, więc korzystamy z definicji logarytmu.

\[9=3^2,\quad 27=3^3,\quad \log_9 27=\frac{3}{2},\quad \log_9 3=\frac{1}{2}\]

2 Dodanie wyników

Dodajemy otrzymane wartości logarytmów.

\[\log_9 27+\log_9 3=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: 2.

\[2\]

Sprawdzenie

Z definicji logarytmu: dziewięć do potęgi trzy drugie daje 27, a dziewięć do potęgi jedna druga daje 3. Obie obliczone wartości są więc poprawne.

\[9^{3/2}=27,\quad 9^{1/2}=3\]

Zadanie 2

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

70%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Liczba $\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]{2}$ jest równa

$-\frac{3}{2}$

$\frac{3}{2}$

$\frac{2}{3}$

$-\frac{2}{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połączenie pierwiastków

Pierwiastki sześcienne można pomnożyć pod jednym pierwiastkiem, także dla liczb ujemnych.

\[\sqrt[3]{-\frac{27}{16}}\cdot\sqrt[3]{2}=\sqrt[3]{-\frac{27}{16}\cdot 2}=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}\]

2 Obliczenie pierwiastka

Liczby 27 i 8 są sześcianami odpowiednio 3 i 2.

\[\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: $-\frac{3}{2}$.

\[-\frac{3}{2}\]

Sprawdzenie

Sześcian otrzymanej liczby jest równy liczbie pod pierwiastkiem, więc wynik jest poprawny.

\[\left(-\frac{3}{2}\right)^3=-\frac{27}{8}\]

Zadanie 3

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

83%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Cenę aparatu fotograficznego obniżono o $15\%$, a następnie – o $20\%$ w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po tych dwóch obniżkach aparat kosztuje $340$ zł. Przed obiema obniżkami cena tego aparatu była równa

$500$ zł

$425$ zł

$400$ zł

$375$ zł

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie ceny po obniżkach

Każda obniżka jest liczona od ceny obowiązującej w danym momencie, więc cenę początkową x mnożymy kolejno przez 0,85 i 0,80.

\[x\cdot 0{,}85\cdot 0{,}80=340\]

2 Obliczenie ceny początkowej

Iloczyn mnożników wynosi 0,68. Dzielimy obie strony równania przez 0,68.

\[0{,}68x=340\quad\Rightarrow\quad x=\frac{340}{0{,}68}=500\]

Odpowiedź

Przed obniżkami aparat kosztował 500 zł. Odpowiedź A.

\[500\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Po pierwszej obniżce cena wynosi 425 zł, a po drugiej 340 zł, zgodnie z treścią zadania.

\[500\cdot 0{,}85=425,\qquad 425\cdot 0{,}80=340\]

Zadanie 4

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

42%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ wyrażenie $(2a-3)^2-(2a+3)^2$ jest równe

$-24a$

$0$

$18$

$16a^2-24a$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na różnicę kwadratów

Korzystamy ze wzoru $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, aby uprościć wyrażenie.

\[(2a-3)^2-(2a+3)^2=[(2a-3)-(2a+3)][(2a-3)+(2a+3)]\]

2 Obliczenie iloczynu

Pierwszy nawias jest równy $-6$, a drugi $4a$, więc mnożymy je przez siebie.

\[(-6)\cdot 4a=-24a\]

Odpowiedź

Wyrażenie jest równe $-24a$. Odpowiedź A.

\[-24a\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu obu kwadratów wyrazy z $a^2$ i stałe się redukują. Równość zachodzi dla każdego $a\in\mathbb{R}$.

\[(4a^2-12a+9)-(4a^2+12a+9)=-24a\]

Zadanie 5

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną jednego z niżej zapisanych układów równań.

Wskaż ten układ równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku.

Układ współrzędnych z wykresami dwóch przecinających się prostych

$\begin{cases}y=-x+2\\y=-2x+1\end{cases}$

$\begin{cases}y=x-2\\y=-2x-1\end{cases}$

$\begin{cases}y=x-2\\y=2x+1\end{cases}$

$\begin{cases}y=-x+2\\y=2x-1\end{cases}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Równanie prostej malejącej

Z wykresu odczytujemy, że prosta przecina osie w punktach (0,2) i (2,0). Gdy x rośnie o 2, y maleje o 2, więc współczynnik kierunkowy wynosi -1.

\[a=\frac{0-2}{2-0}=-1,\qquad y=-x+2\]

2 Równanie prostej rosnącej

Druga prosta przechodzi przez punkty (0,-1) i (1,1). Jej współczynnik kierunkowy wynosi 2, a wyraz wolny -1.

\[a=\frac{1-(-1)}{1-0}=2,\qquad y=2x-1\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[\begin{cases}y=-x+2\\y=2x-1\end{cases}\]

Sprawdzenie

Na rysunku proste przecinają się w punkcie (1,1). Po podstawieniu x=1 oba równania dają y=1.

\[-1+2=1,\qquad 2\cdot1-1=1\]

Zadanie 6

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

51%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności $-2(x+3)\leq\frac{2-x}{3}$ jest przedział

$(-\infty,-4\rangle$

$(-\infty,4\rangle$

$\langle-4,\infty)$

$\langle4,\infty)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usunięcie mianownika

Mnożymy obie strony przez dodatnią liczbę 3, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[-6(x+3)\leq 2-x\]

2 Wyznaczenie x

Rozwijamy nawias, przenosimy wyrazy i dzielimy przez liczbę ujemną, odwracając znak nierówności.

\[-6x-18\leq 2-x\;\Longleftrightarrow\;-5x\leq 20\;\Longleftrightarrow\;x\geq -4\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział od −4 włącznie do nieskończoności. Odpowiedź C.

\[x\in\langle-4,\infty)\]

Sprawdzenie

Dla x = −4 obie strony nierówności są równe 2, więc koniec przedziału należy do zbioru rozwiązań. Dla x = −5 nierówność jest fałszywa: 4 ≤ 7/3 nie zachodzi.

\[x=-4:\quad -2(-4+3)=2=\frac{2-(-4)}{3};\qquad x=-5:\quad 4\nleq\frac{7}{3}\]

Zadanie 7

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

64%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jednym z rozwiązań równania $\sqrt{3}(x^2-2)(x+3)=0$ jest liczba

$3$

$2$

$\sqrt{3}$

$\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozłóż równanie na czynniki

Ponieważ $\sqrt{3}\neq 0$, iloczyn jest równy zeru wtedy, gdy zeruje się jeden z pozostałych czynników.

\[x^2-2=0\quad\text{lub}\quad x+3=0\]

2 Wyznacz rozwiązania

Z pierwszego równania otrzymujemy dwa pierwiastki, a z drugiego jeden.

\[x^2=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2},\qquad x+3=0\Rightarrow x=-3\]

Odpowiedź

Jednym z rozwiązań jest $\sqrt{2}$, czyli odpowiedź D.

\[x=\sqrt{2}\quad\text{(D)}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu $x=\sqrt{2}$ czynnik $x^2-2$ jest równy zeru, więc całe wyrażenie także jest równe zeru.

\[\sqrt{3}\bigl((\sqrt{2})^2-2\bigr)(\sqrt{2}+3)=\sqrt{3}(2-2)(\sqrt{2}+3)=0\]

Zadanie 8

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

47%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Równanie $\frac{(x+1)(x-1)^2}{(x-1)(x+1)^2}=0$ w zbiorze liczb rzeczywistych

nie ma rozwiązania.

ma dokładnie jedno rozwiązanie: $-1$.

ma dokładnie jedno rozwiązanie: $1$.

ma dokładnie dwa rozwiązania: $-1$ oraz $1$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie dziedziny

Mianownik nie może być równy zeru, więc wykluczamy obie wartości zerujące jego czynniki.

\[(x-1)(x+1)^2\neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq 1\ \text{oraz}\ x\neq -1\]

2 Sprawdzenie warunku równości zero

Ułamek jest równy zeru, gdy jego licznik jest zerem, a mianownik jest różny od zera.

\[(x+1)(x-1)^2=0\quad\Longrightarrow\quad x=-1\ \text{lub}\ x=1\]

Odpowiedź

Równanie nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych. Odpowiedź A.

\[\varnothing\]

Sprawdzenie

Obie wartości zerujące licznik są wykluczone z dziedziny, ponieważ zerują także mianownik. Zatem żadna liczba rzeczywista nie spełnia równania.

\[x=-1\ \text{lub}\ x=1\quad\Longrightarrow\quad (x-1)(x+1)^2=0\]

Zadanie 9

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

55%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Miejscem zerowym funkcji liniowej $f(x)=(2p-1)x+p$ jest liczba $(-4)$. Wtedy

$p=\frac{4}{9}$

$p=\frac{4}{7}$

$p=-4$

$p=-\frac{4}{7}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie miejsca zerowego

Skoro liczba −4 jest miejscem zerowym, to f(−4)=0.

\[(2p-1)(-4)+p=0\quad\Longrightarrow\quad -8p+4+p=0\]

2 Wyznaczenie parametru

Porządkujemy wyrazy i rozwiązujemy równanie.

\[-7p+4=0\quad\Longrightarrow\quad p=\frac{4}{7}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: p = 4/7.

\[p=\frac{4}{7}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości współczynnik kierunkowy jest różny od zera, a f(−4)=0.

\[2\cdot\frac{4}{7}-1=\frac{1}{7}\neq 0,\qquad f(-4)=\frac{1}{7}\cdot(-4)+\frac{4}{7}=0\]

Zadanie 10

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

58%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Funkcja liniowa $f$ jest określona wzorem $f(x)=ax+b$, gdzie $a$ i $b$ są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji $f$ w układzie współrzędnych $(x,y)$.

Liczba $a$ oraz liczba $b$ we wzorze funkcji $f$ spełniają warunki:

$Układ współrzędnych z fragmentem wykresu malejącej funkcji liniowej, oznaczeniami 0 i 1 na osiach oraz podpisem $y=f(x)$.$

$a>0$ i $b>0$.

$a>0$ i $b<0$.

$a<0$ i $b>0$.

$a<0$ i $b<0$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Znak współczynnika kierunkowego

Wykres opada, gdy przesuwamy się w prawo, więc funkcja jest malejąca, a jej współczynnik kierunkowy jest ujemny.

\[a<0\]

2 Znak wyrazu wolnego

Wyraz wolny to wartość funkcji dla $x=0$. Wykres przecina oś $y$ powyżej zera, więc jest ona dodatnia.

\[b=f(0)>0\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: $a<0$ i $b>0$.

\[a<0\quad\text{i}\quad b>0\]

Sprawdzenie

Ujemny współczynnik $a$ odpowiada opadaniu prostej, a dodatnie $b$ jej przecięciu z dodatnią częścią osi $y$. Obie cechy widać na rysunku.

\[a<0,\qquad f(0)=b>0\]

Zadanie 11

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

80%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Informacja do zadań 11.–13.

W układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Dziedziną funkcji $f$ jest zbiór

Wykres funkcji y=f(x): odcinek poziomy od punktu pełnego (-6,2) do pustego (-3,2); odcinek rosnący od (-3,-3) do (1,1), oba końce pełne; odcinek poziomy od punktu pustego (1,5) do (2,5), następnie odcinek malejący do punktu pełnego (5,3).

$\langle-6,5\rangle$

$(-6,5)$

$(-3,5\rangle$

$\langle-3,5\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie przedziałów

Dziedzina obejmuje wartości x, dla których na wykresie leży punkt funkcji. Pełne kółko oznacza, że koniec odcinka należy do dziedziny, a puste — że nie należy do tego odcinka.

\[D_1=[-6,-3),\quad D_2=[-3,1],\quad D_3=(1,5]\]

2 Połączenie przedziałów

Wartości x=-3 i x=1 należą do sąsiednich odcinków, więc między najmniejszą a największą wartością x nie ma przerwy.

\[D_f=[-6,-3)\cup[-3,1]\cup(1,5]=[-6,5]\]

Odpowiedź

Dziedziną jest przedział od -6 do 5 wraz z końcami. Odpowiedź A.

\[D_f=\langle-6,5\rangle\]

Sprawdzenie

Na wykresie są pełne punkty dla x=-6 oraz x=5. Każda wartość x pomiędzy nimi występuje na co najmniej jednym odcinku wykresu.

\[-6\in D_f,\quad 5\in D_f,\quad D_f=\langle-6,5\rangle\]

Zadanie 12

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

85%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Funkcja $f$ jest malejąca w zbiorze

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych.

$\langle-6,-3)$

$\langle-3,1\rangle$

$(1,2\rangle$

$\langle2,5\rangle$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczytanie przedziału

Funkcja jest malejąca tam, gdzie wraz ze wzrostem argumentu wartości funkcji maleją. Na wykresie dzieje się tak od x=2 do x=5; oba końce należą do wykresu.

\[f(2)=5>3=f(5),\qquad x\in\langle 2,5\rangle\]

Odpowiedź

D. Funkcja jest malejąca w przedziale od 2 do 5, z oboma końcami.

\[\langle 2,5\rangle\]

Sprawdzenie

Odcinek wykresu od (2,5) do (5,3) ma ujemne nachylenie, więc wartości funkcji maleją w całym wskazanym przedziale.

\[\frac{3-5}{5-2}=-\frac{2}{3}<0\]

Zadanie 13

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

50%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W układzie współrzędnych $(x,y)$ narysowano wykres funkcji $y=f(x)$ (zobacz rysunek).

Największa wartość funkcji $f$ w przedziale $\langle-4,1\rangle$ jest równa

Wykres funkcji y=f(x) w układzie współrzędnych, wspólny dla zadań 11–13.

$0$

$1$

$2$

$5$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Odczyt wykresu

W przedziale od −4 do −3 wykres jest poziomy, więc funkcja przyjmuje wartość 2. W punkcie −3 kółko przy wartości 2 jest puste.

\[f(x)=2\quad\text{dla }x\in[-4,-3)\]

2 Porównanie wartości

Od −3 do 1 wykres rośnie od −3 do 1. Największa wartość na tej części wynosi 1, więc w całym rozpatrywanym przedziale największa jest wartość 2.

\[\max_{x\in[-3,1]}f(x)=f(1)=1<2\]

Odpowiedź

Największa wartość funkcji wynosi 2. Odpowiedź C.

\[\max_{x\in[-4,1]}f(x)=2\]

Sprawdzenie

Wartość 2 jest przyjmowana, na przykład dla x=−4. Na pozostałej części przedziału wartości funkcji nie przekraczają 1.

\[f(-4)=2>f(1)=1\]

Zadanie 14

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

54%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej $f$ jest liczba $(-5)$. Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji $f$, jest równa $3$. Drugim miejscem zerowym funkcji $f$ jest liczba

$11$

$1$

$(-1)$

$(-13)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie własności osi symetrii

Pierwsza współrzędna wierzchołka jest średnią miejsc zerowych funkcji kwadratowej.

\[3=\frac{-5+x_2}{2}\]

2 Obliczenie drugiego miejsca zerowego

Mnożymy równanie przez 2 i dodajemy 5 do obu stron.

\[6=-5+x_2,\qquad x_2=11\]

Odpowiedź

Drugim miejscem zerowym jest 11. Odpowiedź A.

\[x_2=11\]

Sprawdzenie

Średnia miejsc zerowych −5 i 11 wynosi 3, czyli tyle, ile pierwsza współrzędna wierzchołka.

\[\frac{-5+11}{2}=3\]

Zadanie 15

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

84%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=2^n\cdot(n+1)$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Wyraz $a_4$ jest równy

$64$

$40$

$48$

$80$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie numeru wyrazu

Aby obliczyć czwarty wyraz, podstawiamy n=4 do wzoru ciągu.

\[a_4=2^4\cdot(4+1)=16\cdot5=80\]

Odpowiedź

Wyraz a₄ jest równy 80. Odpowiedź D.

\[a_4=80\]

Sprawdzenie

Liczba 4 spełnia warunek n≥1, a iloczyn 16·5 wynosi 80.

\[4\geq1,\quad 2^4=16,\quad 16\cdot5=80\]

Zadanie 16

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

73%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trzywyrazowy ciąg $(27,\ 9,\ a-1)$ jest geometryczny. Liczba $a$ jest równa

$3$

$0$

$4$

$2$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie ilorazu

W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz otrzymujemy, mnożąc poprzedni przez ten sam iloraz.

\[q=\frac{9}{27}=\frac{1}{3}\]

2 Obliczenie liczby a

Trzeci wyraz to drugi wyraz pomnożony przez iloraz.

\[a-1=9\cdot\frac{1}{3}=3,\quad a=4\]

Odpowiedź

Liczba a jest równa 4. Odpowiedź C.

\[a=4\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymujemy ciąg (27, 9, 3). Oba ilorazy kolejnych wyrazów są równe jednej trzeciej.

\[\frac{9}{27}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 17

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

57%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W układzie współrzędnych zaznaczono kąt $\alpha$ o wierzchołku w punkcie $O=(0,0)$. Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią $Ox$, a drugie przechodzi przez punkt $P=(-3,1)$ (zobacz rysunek).

Tangens kąta $\alpha$ jest równy

Układ współrzędnych z osiami x i y, kątem α o wierzchołku O oraz ramieniem przechodzącym przez punkt P=(-3,1).

$\frac{1}{\sqrt{10}}$

$\left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$

$\left(-\frac{3}{1}\right)$

$\left(-\frac{1}{3}\right)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie tangensa

Dla ramienia kąta przechodzącego przez punkt $P=(x,y)$, przy $x\neq 0$, tangens jest równy $\frac{y}{x}$. Tutaj $x=-3$ i $y=1$.

\[\tan\alpha=\frac{y}{x}=\frac{1}{-3}=-\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Tangens kąta α wynosi −1/3. Odpowiedź D.

\[\tan\alpha=-\frac{1}{3}\quad\text{(D)}\]

Sprawdzenie

Punkt P leży w II ćwiartce, gdzie tangens jest ujemny. Ponadto prosta OP ma nachylenie −1/3, zgodne z wynikiem.

\[\frac{1-0}{-3-0}=-\frac{1}{3}\]

Zadanie 18

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

21%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dla każdego kąta ostrego $\alpha$ wyrażenie $\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cdot\cos^2\alpha$ jest równe

$\sin^2\alpha$

$\sin^6\alpha\cdot\cos^2\alpha$

$\sin^4\alpha+1$

$\sin^2\alpha\cdot(\sin\alpha+\cos\alpha)\cdot(\sin\alpha-\cos\alpha)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Oba składniki zawierają $\sin^2\alpha$, więc wyłączamy go przed nawias.

\[\sin^4\alpha+\sin^2\alpha\cos^2\alpha=\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)\]

2 Zastosuj tożsamość trygonometryczną

Dla każdego kąta zachodzi $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$.

\[\sin^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=\sin^2\alpha\cdot1=\sin^2\alpha\]

Odpowiedź

A. Wyrażenie jest równe $\sin^2\alpha$.

\[\sin^2\alpha\]

Sprawdzenie

Dla $\alpha=30^\circ$ wyrażenie ma wartość $\frac{1}{16}+\frac{3}{16}=\frac14$, a $\sin^2 30^\circ=\frac14$.

\[\sin^4 30^\circ+\sin^2 30^\circ\cos^2 30^\circ=\frac{1}{16}+\frac{3}{16}=\frac14=\sin^2 30^\circ\]

Zadanie 19

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

62%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Punkty $A, B, C$ leżą na okręgu o środku w punkcie $O$. Kąt $ACO$ ma miarę $70^\circ$ (zobacz rysunek).

Miara kąta ostrego $ABC$ jest równa

Okrąg o środku O z punktami A, B i C oraz zaznaczonym kątem ACO o mierze 70°.

$10^\circ$

$20^\circ$

$35^\circ$

$40^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kąta środkowego

Promienie $OA$ i $OC$ są równe, więc trójkąt $AOC$ jest równoramienny. Oba kąty przy podstawie mają po $70^\circ$.

\[\angle AOC=180^\circ-70^\circ-70^\circ=40^\circ\]

2 Obliczenie kąta wpisanego

Kąt $ABC$ i kąt środkowy $AOC$ są oparte na tym samym łuku $AC$, więc kąt wpisany ma połowę miary kąta środkowego.

\[\angle ABC=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{40^\circ}{2}=20^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta ABC wynosi 20°. Odpowiedź B.

\[\angle ABC=20^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt środkowy ma 40°, więc oparty na tym samym łuku kąt wpisany ma 20°. Wynik jest kątem ostrym.

\[2\cdot20^\circ=40^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

41%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W rombie o boku długości $6\sqrt{2}$ kąt rozwarty ma miarę $150^\circ$. Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

$24$

$72$

$36$

$36\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie pola rombu

Pole rombu jest iloczynem kwadratów długości boku i sinusa kąta między bokami.

\[P=a^2\sin 150^\circ=(6\sqrt{2})^2\cdot\frac12=36\]

2 Wyznaczenie iloczynu przekątnych

Pole rombu jest też połową iloczynu długości jego przekątnych.

\[P=\frac{d_1d_2}{2},\quad d_1d_2=2P=72\]

Odpowiedź

Iloczyn długości przekątnych wynosi 72. Odpowiedź B.

\[d_1d_2=72\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanego iloczynu wzór na pole z przekątnych daje 36, tyle samo co wzór z boku i kąta.

\[\frac{72}{2}=36=(6\sqrt{2})^2\sin 150^\circ\]

Zadanie 21

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Przez punkty $A$ i $B$, leżące na okręgu o środku $O$, poprowadzono proste styczne do tego okręgu, przecinające się w punkcie $C$ (zobacz rysunek).

Miara kąta $ACB$ jest równa

Okrąg o środku O i styczne w punktach A i B przecinające się w punkcie C; zaznaczony kąt AOB ma miarę 140°.

$20^\circ$

$35^\circ$

$40^\circ$

$70^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąty przy punktach styczności

Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc kąty przy A i B są proste.

\[\angle OAC=\angle OBC=90^\circ\]

2 Suma kątów czworokąta

W czworokącie AOBC suma kątów wynosi 360°, a z rysunku odczytujemy, że kąt AOB ma 140°.

\[\angle ACB=360^\circ-90^\circ-140^\circ-90^\circ=40^\circ\]

Odpowiedź

Kąt ACB ma miarę 40°, czyli odpowiedź C.

\[\angle ACB=40^\circ\quad\text{(C)}\]

Sprawdzenie

Otrzymane kąty czworokąta AOBC sumują się do 360°.

\[90^\circ+140^\circ+90^\circ+40^\circ=360^\circ\]

Zadanie 22

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

45%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|BC|=6$. Miara kąta $ACB$ jest równa $150^\circ$ (zobacz rysunek).

Wysokość trójkąta $ABC$ opuszczona z wierzchołka $B$ jest równa

Trójkąt ABC z bokiem BC oznaczonym 6 i kątem ACB oznaczonym 150°.

$3$

$4$

$3\sqrt{3}$

$4\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wysokości

Wysokość z wierzchołka B jest odległością punktu B od prostej AC. Ponieważ kąt przy C jest rozwarty, podstawa wysokości leży na przedłużeniu boku AC. Korzystamy z sinusa kąta 150°.

\[h=|BC|\sin\angle ACB=6\sin150^\circ=6\cdot\frac12=3\]

Odpowiedź

Wysokość wynosi 3. Odpowiedź A.

\[h=3\]

Sprawdzenie

Kąt ostry między BC a przedłużeniem AC ma 30°, więc w powstałym trójkącie prostokątnym wysokość jest połową przeciwprostokątnej długości 6.

\[h=6\sin30^\circ=3\]

Zadanie 23

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dana jest prosta $k$ o równaniu $y=-\frac{1}{3}x+2$.

Prosta o równaniu $y=ax+b$ jest równoległa do prostej $k$ i przechodzi przez punkt $P=(3,5)$, gdy

$a=3$ i $b=4$.

$a=-\frac{1}{3}$ i $b=4$.

$a=3$ i $b=-4$.

$a=-\frac{1}{3}$ i $b=6$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika kierunkowego

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc odczytujemy go z równania prostej k.

\[a=-\frac{1}{3}\]

2 Wyznaczenie wyrazu wolnego

Podstawiamy współrzędne punktu P=(3,5) do równania szukanej prostej.

\[5=-\frac{1}{3}\cdot 3+b=-1+b\quad\Rightarrow\quad b=6\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: a = −1/3 i b = 6.

\[y=-\frac{1}{3}x+6\]

Sprawdzenie

Dla x = 3 otrzymujemy y = 5, więc prosta przechodzi przez P. Jej współczynnik kierunkowy jest taki sam jak prostej k, więc proste są równoległe.

\[-\frac{1}{3}\cdot 3+6=5\]

Zadanie 24

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

69%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dane są punkty $K=(-3,-7)$ oraz $S=(5,3)$. Punkt $S$ jest środkiem odcinka $KL$. Wtedy punkt $L$ ma współrzędne

$(13,10)$

$(13,13)$

$(1,-2)$

$(7,-1)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na środek odcinka

Współrzędna środka jest średnią odpowiednich współrzędnych końców odcinka, więc oznaczamy szukany punkt przez $L=(x,y)$.

\[5=\frac{-3+x}{2},\qquad 3=\frac{-7+y}{2}\]

2 Obliczenie współrzędnych punktu L

Mnożymy obie równości przez 2 i wyznaczamy niewiadome.

\[x=2\cdot5+3=13,\qquad y=2\cdot3+7=13\]

Odpowiedź

Punkt L ma współrzędne $(13,13)$. Odpowiedź B.

\[L=(13,13)\]

Sprawdzenie

Środek odcinka o końcach $K=(-3,-7)$ i $L=(13,13)$ ma współrzędne $(5,3)$, zgodnie z treścią zadania.

\[\left(\frac{-3+13}{2},\frac{-7+13}{2}\right)=(5,3)=S\]

Zadanie 25

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

30%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dana jest prosta o równaniu $y=2x-3$. Obrazem tej prostej w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest prosta o równaniu

$y=2x+3$

$y=-2x-3$

$y=-2x+3$

$y=2x-3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie symetrii

W symetrii środkowej względem początku układu oba znaki współrzędnych zmieniają się na przeciwne.

\[(x,y)\mapsto(x',y')=(-x,-y)\]

2 Wyznaczenie równania obrazu

Podstawiamy $x=-x'$ i $y=-y'$ do równania danej prostej, aby otrzymać równanie dla punktów obrazu.

\[-y'=2(-x')-3\quad\Longrightarrow\quad y'=2x'+3\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: $y=2x+3$.

\[y=2x+3\]

Sprawdzenie

Punkt $(0,-3)$ leży na danej prostej. Jego obraz $(0,3)$ spełnia otrzymane równanie: $3=2\cdot0+3$.

\[(0,-3)\mapsto(0,3),\qquad 3=2\cdot0+3\]

Zadanie 26

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

39%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem $\alpha$ takim, że $\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3}$.

Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa

$15\sqrt{2}$

$45$

$5\sqrt{2}$

$10$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przekątna podstawy

Podstawa jest kwadratem o boku 15, więc jej przekątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.

\[p=\sqrt{15^2+15^2}=15\sqrt{2}\]

2 Przekątna graniastosłupa

Rzut przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątną kwadratu. Z definicji cosinusa kąta nachylenia obliczamy jej długość.

\[\cos\alpha=\frac{p}{d},\qquad \frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{15\sqrt{2}}{d},\qquad d=45\]

Odpowiedź

Długość przekątnej wynosi 45. Odpowiedź B.

\[d=45\]

Sprawdzenie

Stosunek długości rzutu do obliczonej przekątnej jest równy podanemu cosinusowi, a przekątna jest dłuższa od swojego rzutu.

\[\frac{15\sqrt{2}}{45}=\frac{\sqrt{2}}{3},\qquad 45>15\sqrt{2}\]

Zadanie 27

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

67%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Średnia arytmetyczna liczb $x, y, z$ jest równa 4.

Średnia arytmetyczna czterech liczb: $1+x$, $2+y$, $3+z$, $14$, jest równa

$6$

$9$

$8$

$13$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy liczb

Ze wzoru na średnią arytmetyczną wyznaczamy sumę liczb x, y, z.

\[\frac{x+y+z}{3}=4\quad\Rightarrow\quad x+y+z=12\]

2 Obliczenie nowej średniej

Dodajemy cztery podane liczby i dzielimy ich sumę przez 4.

\[\frac{(1+x)+(2+y)+(3+z)+14}{4}=\frac{12+20}{4}=8\]

Odpowiedź

Średnia jest równa 8. Odpowiedź C.

\[8\]

Sprawdzenie

Suma czterech liczb wynosi 32, a średnia 8 pomnożona przez 4 również daje 32.

\[4\cdot 8=32=12+1+2+3+14\]

Zadanie 28

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

58%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 5, 7 (np. 57 075, 55 555), jest

$5^3$

$2\cdot 4^3$

$2\cdot 3^4$

$3^5$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór pierwszej cyfry

Liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od zera, więc pierwszą cyfrą jest 5 albo 7.

\[2\text{ możliwości}\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Na każdym z czterech pozostałych miejsc można niezależnie wpisać 0, 5 albo 7. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę wszystkich zapisów.

\[2\cdot 3^4=2\cdot 81=162\]

Odpowiedź

Jest 162 takich liczb. Odpowiedź C.

\[2\cdot 3^4=162\]

Sprawdzenie

Liczb zaczynających się od 5 jest 81 i tyle samo zaczynających się od 7. Daje to łącznie 162 liczby pięciocyfrowe.

\[3^4+3^4=81+81=162\]

Zadanie 29

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

79%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby $W$ wszystkich wierzchołków do liczby $K$ wszystkich krawędzi jest równy $\frac{W}{K}=\frac{3}{5}$.

Podstawą tego ostrosłupa jest

kwadrat.

pięciokąt foremny.

sześciokąt foremny.

siedmiokąt foremny.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policzenie wierzchołków i krawędzi

Jeśli podstawa ma n boków, ostrosłup ma n wierzchołków podstawy i jeden wierzchołek górny oraz po n krawędzi podstawy i krawędzi bocznych.

\[W=n+1,\qquad K=2n\]

2 Wyznaczenie liczby boków podstawy

Podstawiamy te liczby do podanego stosunku i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{n+1}{2n}=\frac35\quad\Longrightarrow\quad 5(n+1)=6n\quad\Longrightarrow\quad n=5\]

Odpowiedź

B. Pięciokąt foremny.

\[n=5\]

Sprawdzenie

Dla pięciokąta ostrosłup ma 6 wierzchołków i 10 krawędzi, więc podany stosunek się zgadza.

\[\frac{W}{K}=\frac{6}{10}=\frac35\]

Zadanie 30

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

53%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż nierówność

$x(x-2)>2x^2-3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Rozwijamy nawias i odejmujemy prawą stronę nierówności od obu stron.

\[x^2-2x>2x^2-3\iff x^2+2x-3<0\]

2 Rozłóż trójmian na czynniki

Postać iloczynowa pozwala wyznaczyć miejsca zerowe i znak wyrażenia.

\[x^2+2x-3=(x+3)(x-1),\quad x=-3\ \text{lub}\ x=1\]

3 Wyznacz przedział rozwiązań

Iloczyn dwóch czynników liniowych jest ujemny między miejscami zerowymi. Końce przedziału nie należą do rozwiązania, bo nierówność jest ostra.

\[(x+3)(x-1)<0\iff -3<x<1\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział $(-3,1)$.

\[x\in(-3,1)\]

Sprawdzenie

Dla liczby 0 z otrzymanego przedziału zachodzi $0>-3$. Dla liczb spoza przedziału, na przykład −4 i 2, nierówność nie zachodzi; na końcach −3 i 1 strony są równe.

\[x=0:\ 0>-3;\qquad x=-4:\ 24\not>29;\qquad x=2:\ 0\not>5\]

Zadanie 31

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

28%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł.

Oblicz kwotę pierwszej raty.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie sumy rat

Raty tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy −30 zł. Osiemnasta rata jest o 17 razy 30 zł mniejsza od pierwszej.

\[a_{18}=a_1-17\cdot30=a_1-510\]

2 Obliczenie pierwszej raty

Suma 18 rat to dziewięciokrotność sumy raty pierwszej i ostatniej. Przyrównujemy ją do kwoty pożyczki.

\[9(a_1+a_{18})=8910\quad\Rightarrow\quad9(2a_1-510)=8910\quad\Rightarrow\quad a_1=750\]

Odpowiedź

Pierwsza rata wynosiła 750 zł.

\[a_1=750\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Ostatnia rata wynosiła 240 zł i jest dodatnia. Suma rat wynosi 9 · (750 zł + 240 zł) = 8910 zł.

\[a_{18}=750-17\cdot30=240\ \text{zł},\qquad S_{18}=9(750+240)=8910\ \text{zł}\]

Zadanie 32

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

6%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x \neq 1$ i dla każdej liczby rzeczywistej $y$ prawdziwa jest nierówność

$x^2+y^2+5>2x+4y$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby wykazać nierówność, wystarczy udowodnić, że różnica jej stron jest dodatnia.

\[x^2+y^2+5-2x-4y>0\]

2 Uzupełnij do kwadratów

Zapisujemy różnicę jako sumę kwadratów, których znaki łatwo ustalić.

\[x^2+y^2+5-2x-4y=(x-1)^2+(y-2)^2\]

3 Wykorzystaj warunek

Ponieważ $x\neq 1$, pierwszy kwadrat jest dodatni. Drugi jest nieujemny dla każdego rzeczywistego $y$.

\[(x-1)^2>0,\quad (y-2)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad (x-1)^2+(y-2)^2>0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla każdego $x\neq 1$ i każdego $y\in\mathbb{R}$.

\[x^2+y^2+5>2x+4y\]

Sprawdzenie

Równość mogłaby zachodzić tylko wtedy, gdy oba kwadraty byłyby zerowe, czyli dla $x=1$ i $y=2$. Warunek $x\neq 1$ wyklucza ten przypadek.

\[(x-1)^2+(y-2)^2=0\iff x=1\ \land\ y=2\]

Zadanie 33

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

56%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Trójkąty prostokątne $T_1$ i $T_2$ są podobne. Przyprostokątne trójkąta $T_1$ mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta $T_2$ ma długość 26.

Oblicz pole trójkąta $T_2$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przeciwprostokątnej

Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $T_1$.

\[c_1=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13\]

2 Wyznaczenie skali podobieństwa

Odpowiadające sobie przeciwprostokątne są w tym samym stosunku co przyprostokątne.

\[k=\frac{26}{13}=2,\qquad a_2=2\cdot5=10,\qquad b_2=2\cdot12=24\]

3 Obliczenie pola

Pole trójkąta prostokątnego jest połową iloczynu jego przyprostokątnych.

\[P_2=\frac{10\cdot24}{2}=120\]

Odpowiedź

Pole trójkąta T₂ wynosi 120 jednostek kwadratowych.

\[P_2=120\]

Sprawdzenie

Przyprostokątne 10 i 24 dają przeciwprostokątną 26, więc wynik spełnia warunek zadania. Pole T₁ wynosi 30, a przy skali 2 pole rośnie czterokrotnie do 120.

\[10^2+24^2=676=26^2,\qquad 2^2\cdot\frac{5\cdot12}{2}=120\]

Zadanie 34

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

17%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

W kwadracie $ABCD$ punkty $A=(-8,-2)$ oraz $C=(0,4)$ są końcami przekątnej. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną $BD$ tego kwadratu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Środek przekątnych

Przekątne kwadratu przecinają się w swoich środkach, więc prosta BD przechodzi przez środek odcinka AC.

\[S=\left(\frac{-8+0}{2},\frac{-2+4}{2}\right)=(-4,1)\]

2 Kierunek prostej BD

Przekątne kwadratu są prostopadłe. Wektor AC ma współrzędne (8,6), więc prostopadłym do niego wektorem kierunkowym BD jest (3,-4).

\[\overrightarrow{AC}=(8,6),\qquad 8\cdot3+6\cdot(-4)=0\]

3 Równanie prostej

Podstawiamy punkt S i współczynnik kierunkowy -4/3 do równania prostej.

\[y-1=-\frac{4}{3}(x+4)\quad\Longleftrightarrow\quad 4x+3y+13=0\]

Odpowiedź

Prosta zawierająca przekątną BD ma równanie 4x+3y+13=0.

\[4x+3y+13=0\]

Sprawdzenie

Środek przekątnej AC należy do otrzymanej prostej, a jej kierunek jest prostopadły do AC.

\[4\cdot(-4)+3\cdot1+13=0,\qquad (8,6)\cdot(3,-4)=0\]

Zadanie 35

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

58%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Ze zbioru ośmiu liczb $\{2,3,4,5,6,7,8,9\}$ losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez $15$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Losowania są kolejno i ze zwracaniem, więc każde z ośmiu wskazań może wystąpić w obu losowaniach.

\[|\Omega|=8\cdot 8=64\]

2 Liczba wyników sprzyjających

Iloczyn jest podzielny przez 15, gdy zawiera czynnik 5 i czynnik 3. Jedyną liczbą z czynnikiem 5 jest 5, a czynnik 3 mają liczby 3, 6 i 9. Liczba 5 może wypaść jako pierwsza albo druga.

\[|A|=2\cdot 3=6\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Wszystkie uporządkowane pary są jednakowo prawdopodobne, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{6}{64}=\frac{3}{32}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo wynosi 3/32.

\[P(A)=\frac{3}{32}\]

Sprawdzenie

Wyniki sprzyjające to (5,3), (5,6), (5,9), (3,5), (6,5) i (9,5). Ich iloczyny są podzielne przez 15; innych par sprzyjających nie ma.

\[5\cdot 3=15,\quad 5\cdot 6=30,\quad 5\cdot 9=45\]

Zadanie 36

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

35%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Podstawą graniastosłupa prostego $ABCDEF$ jest trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$, $|AB|=8$. Wysokość trójkąta $ABC$, poprowadzona z wierzchołka $C$, ma długość 3. Przekątna $CE$ ściany bocznej tworzy z krawędzią $CB$ podstawy $ABC$ kąt $60^\circ$ (zobacz rysunek).

Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa.

Rysunek graniastosłupa prostego ABCDEF o podstawie trójkąta równoramiennego ABC, z oznaczeniami długości 3 i 8 oraz kąta 60° między CB i CE.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Boki podstawy

Wysokość trójkąta równoramiennego dzieli bok AB na połowy. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość równych ramion.

\[|AC|=|BC|=\sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^2+3^2}=5\]

2 Wysokość graniastosłupa

Graniastosłup jest prosty, więc trójkąt CBE jest prostokątny w B. Korzystamy z tangensa podanego kąta.

\[\tan 60^\circ=\frac{|BE|}{|BC|},\qquad |BE|=5\tan 60^\circ=5\sqrt{3}\]

3 Pole całkowite i objętość

Pole całkowite to suma pól dwóch podstaw i ścian bocznych. Objętość jest iloczynem pola podstawy i wysokości graniastosłupa.

\[P_p=\frac{8\cdot3}{2}=12,\quad P_c=2P_p+(8+5+5)\cdot5\sqrt{3}=24+90\sqrt{3},\quad V=P_p\cdot5\sqrt{3}=60\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole powierzchni całkowitej wynosi 24+90√3 jednostek kwadratowych, a objętość 60√3 jednostek sześciennych.

\[P_c=24+90\sqrt{3},\qquad V=60\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

W trójkącie CBE przekątna ma długość 10, więc stosunek CB do CE wynosi 1/2, zgodnie z cosinusem kąta 60°.

\[|CE|=\sqrt{5^2+(5\sqrt{3})^2}=10,\qquad \cos 60^\circ=\frac{|CB|}{|CE|}=\frac{5}{10}=\frac12\]