Otwarte2 pkt
Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej
17%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
W kwadracie \(ABCD\) punkty \(A=(-8,-2)\) oraz \(C=(0,4)\) są końcami przekątnej. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego kwadratu.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Środek przekątnych
Przekątne kwadratu przecinają się w swoich środkach, więc prosta BD przechodzi przez środek odcinka AC.
\[S=\left(\frac{-8+0}{2},\frac{-2+4}{2}\right)=(-4,1)\]
2 Kierunek prostej BD
Przekątne kwadratu są prostopadłe. Wektor AC ma współrzędne (8,6), więc prostopadłym do niego wektorem kierunkowym BD jest (3,-4).
\[\overrightarrow{AC}=(8,6),\qquad 8\cdot3+6\cdot(-4)=0\]
3 Równanie prostej
Podstawiamy punkt S i współczynnik kierunkowy -4/3 do równania prostej.
\[y-1=-\frac{4}{3}(x+4)\quad\Longleftrightarrow\quad 4x+3y+13=0\]
Odpowiedź
Prosta zawierająca przekątną BD ma równanie 4x+3y+13=0.
\[4x+3y+13=0\]
Sprawdzenie
Środek przekątnej AC należy do otrzymanej prostej, a jej kierunek jest prostopadły do AC.
\[4\cdot(-4)+3\cdot1+13=0,\qquad (8,6)\cdot(3,-4)=0\]