Zadanie 36 — matura 2023, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2023 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

35%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDEF\) jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\), \(|AB|=8\). Wysokość trójkąta \(ABC\), poprowadzona z wierzchołka \(C\), ma długość 3. Przekątna \(CE\) ściany bocznej tworzy z krawędzią \(CB\) podstawy \(ABC\) kąt \(60^\circ\) (zobacz rysunek).

Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa.

Rysunek graniastosłupa prostego ABCDEF o podstawie trójkąta równoramiennego ABC, z oznaczeniami długości 3 i 8 oraz kąta 60° między CB i CE.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Boki podstawy

Wysokość trójkąta równoramiennego dzieli bok AB na połowy. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość równych ramion.

\[|AC|=|BC|=\sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^2+3^2}=5\]

2 Wysokość graniastosłupa

Graniastosłup jest prosty, więc trójkąt CBE jest prostokątny w B. Korzystamy z tangensa podanego kąta.

\[\tan 60^\circ=\frac{|BE|}{|BC|},\qquad |BE|=5\tan 60^\circ=5\sqrt{3}\]

3 Pole całkowite i objętość

Pole całkowite to suma pól dwóch podstaw i ścian bocznych. Objętość jest iloczynem pola podstawy i wysokości graniastosłupa.

\[P_p=\frac{8\cdot3}{2}=12,\quad P_c=2P_p+(8+5+5)\cdot5\sqrt{3}=24+90\sqrt{3},\quad V=P_p\cdot5\sqrt{3}=60\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole powierzchni całkowitej wynosi 24+90√3 jednostek kwadratowych, a objętość 60√3 jednostek sześciennych.

\[P_c=24+90\sqrt{3},\qquad V=60\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

W trójkącie CBE przekątna ma długość 10, więc stosunek CB do CE wynosi 1/2, zgodnie z cosinusem kąta 60°.

\[|CE|=\sqrt{5^2+(5\sqrt{3})^2}=10,\qquad \cos 60^\circ=\frac{|CB|}{|CE|}=\frac{5}{10}=\frac12\]