Otwarte2 pkt
Równania i nierówności
53%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Rozwiąż nierówność
\(x(x-2)>2x^2-3\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Rozwijamy nawias i odejmujemy prawą stronę nierówności od obu stron.
\[x^2-2x>2x^2-3\iff x^2+2x-3<0\]
2 Rozłóż trójmian na czynniki
Postać iloczynowa pozwala wyznaczyć miejsca zerowe i znak wyrażenia.
\[x^2+2x-3=(x+3)(x-1),\quad x=-3\ \text{lub}\ x=1\]
3 Wyznacz przedział rozwiązań
Iloczyn dwóch czynników liniowych jest ujemny między miejscami zerowymi. Końce przedziału nie należą do rozwiązania, bo nierówność jest ostra.
\[(x+3)(x-1)<0\iff -3<x<1\]
Odpowiedź
Zbiorem rozwiązań jest przedział \((-3,1)\).
\[x\in(-3,1)\]
Sprawdzenie
Dla liczby 0 z otrzymanego przedziału zachodzi \(0>-3\). Dla liczb spoza przedziału, na przykład −4 i 2, nierówność nie zachodzi; na końcach −3 i 1 strony są równe.
\[x=0:\ 0>-3;\qquad x=-4:\ 24\not>29;\qquad x=2:\ 0\not>5\]