Otwarte2 pkt
Wyrażenia algebraiczne
6%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 1\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność
\(x^2+y^2+5>2x+4y\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Aby wykazać nierówność, wystarczy udowodnić, że różnica jej stron jest dodatnia.
\[x^2+y^2+5-2x-4y>0\]
2 Uzupełnij do kwadratów
Zapisujemy różnicę jako sumę kwadratów, których znaki łatwo ustalić.
\[x^2+y^2+5-2x-4y=(x-1)^2+(y-2)^2\]
3 Wykorzystaj warunek
Ponieważ \(x\neq 1\), pierwszy kwadrat jest dodatni. Drugi jest nieujemny dla każdego rzeczywistego \(y\).
\[(x-1)^2>0,\quad (y-2)^2\geq 0\quad\Longrightarrow\quad (x-1)^2+(y-2)^2>0\]
Odpowiedź
Nierówność jest prawdziwa dla każdego \(x\neq 1\) i każdego \(y\in\mathbb{R}\).
\[x^2+y^2+5>2x+4y\]
Sprawdzenie
Równość mogłaby zachodzić tylko wtedy, gdy oba kwadraty byłyby zerowe, czyli dla \(x=1\) i \(y=2\). Warunek \(x\neq 1\) wyklucza ten przypadek.
\[(x-1)^2+(y-2)^2=0\iff x=1\ \land\ y=2\]