Zamknięte1 pkt
39%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\alpha\) takim, że \(\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{3}\).
Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa
A
\(15\sqrt{2}\)
B
\(45\)
C
\(5\sqrt{2}\)
D
\(10\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przekątna podstawy
Podstawa jest kwadratem o boku 15, więc jej przekątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa.
\[p=\sqrt{15^2+15^2}=15\sqrt{2}\]
2 Przekątna graniastosłupa
Rzut przekątnej graniastosłupa na podstawę jest przekątną kwadratu. Z definicji cosinusa kąta nachylenia obliczamy jej długość.
\[\cos\alpha=\frac{p}{d},\qquad \frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{15\sqrt{2}}{d},\qquad d=45\]
Odpowiedź
Długość przekątnej wynosi 45. Odpowiedź B.
\[d=45\]
Sprawdzenie
Stosunek długości rzutu do obliczonej przekątnej jest równy podanemu cosinusowi, a przekątna jest dłuższa od swojego rzutu.
\[\frac{15\sqrt{2}}{45}=\frac{\sqrt{2}}{3},\qquad 45>15\sqrt{2}\]