Arkusz maturalny

Matematyka — matura 2022

Poziom podstawowySierpieńFormuła 2015

Zobacz zadania i rozwiązania 35 zadań z arkusza

ArkuszPobierz PDF KluczPobierz PDF

Zadania z arkusza — rozwiązania krok po kroku

35 zadań · Rozwiń rozwiązanie pod wybranym zadaniem.

Zadanie 1

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\frac{8^{-40}}{2^{10}}\) jest równa

\(4^{-4}\)

\(4^{-50}\)

\(2^{-47}\)

\(2^{-130}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zamiana podstawy

Ponieważ 8 jest potęgą liczby 2, zapisujemy licznik z podstawą 2.

\[8^{-40}=(2^3)^{-40}=2^{-120}\]

2 Dzielenie potęg

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki.

\[\frac{8^{-40}}{2^{10}}=\frac{2^{-120}}{2^{10}}=2^{-120-10}=2^{-130}\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[2^{-130}\]

Sprawdzenie

Wynik spełnia równoważność wynikającą z definicji potęgi o wykładniku ujemnym.

\[2^{-130}=\frac{1}{2^{130}}=\frac{1}{8^{40}\cdot 2^{10}}=\frac{8^{-40}}{2^{10}}\]

Zadanie 2

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\log_{2}32-\log_{2}8\) jest równa

\(2\)

\(14\)

\(16\)

\(24\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie logarytmów

Ponieważ \(2^5=32\) i \(2^3=8\), logarytmy są równe odpowiednio 5 i 3. Odejmujemy te wartości.

\[\log_{2}32-\log_{2}8=5-3=2\]

Odpowiedź

2, odpowiedź A.

\[2\]

Sprawdzenie

Otrzymane wartości logarytmów spełniają ich definicję: potęgi dwójki o wykładnikach 5 i 3 dają odpowiednio 32 i 8.

\[2^5=32,\quad 2^3=8\]

Zadanie 3

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba \(\left(5-2\sqrt{3}\right)^{2}\) jest równa

\(25+4\sqrt{3}\)

\(25-4\sqrt{3}\)

\(37+20\sqrt{3}\)

\(37-20\sqrt{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozwiń kwadrat

Stosujemy wzór na kwadrat różnicy, aby uwzględnić wyraz mieszany.

\[(5-2\sqrt{3})^2=5^2-2\cdot5\cdot2\sqrt{3}+(2\sqrt{3})^2\]

2 Oblicz składniki

Ponieważ \((\sqrt{3})^2=3\), łączymy wyrazy całkowite.

\[25-20\sqrt{3}+4\cdot3=37-20\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Liczba jest równa \(37-20\sqrt{3}\). Odpowiedź D.

\[37-20\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Po odwróceniu rachunku otrzymujemy te same trzy składniki kwadratu różnicy.

\[37-20\sqrt{3}=25+12-20\sqrt{3}=5^2+(2\sqrt{3})^2-2\cdot5\cdot2\sqrt{3}\]

Zadanie 4

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Cenę \(x\) (w złotych) pewnego towaru obniżono najpierw o \(30\%\), a następnie obniżono o \(20\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po obydwu tych obniżkach cena towaru jest równa

\(0{,}36\cdot x\) złotych.

\(0{,}44\cdot x\) złotych.

\(0{,}50\cdot x\) złotych.

\(0{,}56\cdot x\) złotych.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pierwsza obniżka

Po obniżeniu ceny o 30% pozostaje 70% ceny początkowej.

\[x\cdot(1-0{,}30)=0{,}70x\]

2 Druga obniżka

Obniżka o 20% dotyczy już ceny 0,70x, więc pozostaje 80% tej kwoty.

\[0{,}70x\cdot(1-0{,}20)=0{,}70x\cdot0{,}80=0{,}56x\]

Odpowiedź

Cena po obu obniżkach wynosi 0,56x złotych. Odpowiedź D.

\[0{,}56x\ \text{zł}\]

Sprawdzenie

Dla ceny początkowej 100 zł pierwsza obniżka daje 70 zł, a druga 56 zł. To 0,56 ceny początkowej.

\[100\ \text{zł}\cdot0{,}70\cdot0{,}80=56\ \text{zł}\]

Zadanie 5

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Jednym z rozwiązań równania \(5(x+1)-x^{2}(x+1)=0\) jest liczba

\(1\)

\((-1)\)

\(5\)

\((-5)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyłącz wspólny czynnik

Oba składniki zawierają czynnik \(x+1\), więc można go wyłączyć przed nawias.

\[5(x+1)-x^{2}(x+1)=(x+1)(5-x^{2})=0\]

2 Zastosuj zasadę iloczynu zerowego

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x+1=0\quad\text{lub}\quad 5-x^{2}=0,\qquad x=-1\quad\text{lub}\quad x=\pm\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Jednym z rozwiązań jest liczba −1. Odpowiedź B.

\[\boxed{x=-1\quad\text{(B)}}\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu −1 oba składniki równania są równe zeru.

\[5(-1+1)-(-1)^2(-1+1)=0\]

Zadanie 6

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{8x-3}{4}>6x\) jest przedział

\(\left(-\infty,-\frac{3}{4}\right)\)

\(\left(-\frac{3}{4},+\infty\right)\)

\(\left(-\infty,-\frac{3}{16}\right)\)

\(\left(-\frac{3}{16},+\infty\right)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Usunięcie mianownika

Mnożymy obie strony przez dodatnie 4, więc znak nierówności się nie zmienia.

\[\frac{8x-3}{4}>6x\iff 8x-3>24x\]

2 Wyznaczenie x

Przenosimy wyrazy z x na jedną stronę i dzielimy przez dodatnie 16.

\[8x-3>24x\iff -3>16x\iff x<-\frac{3}{16}\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział z odpowiedzi C.

\[x\in\left(-\infty,-\frac{3}{16}\right)\]

Sprawdzenie

Dla końca przedziału obie strony nierówności są równe, więc nie należy on do zbioru rozwiązań. Dla x=0 nierówność jest fałszywa, co potwierdza kierunek przedziału.

\[x=-\frac{3}{16}:\quad \frac{8x-3}{4}=6x=-\frac{9}{8};\qquad x=0:\quad -\frac{3}{4}>0\;\text{— fałsz}\]

Zadanie 7

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Suma wszystkich rozwiązań równania \((2x-1)(2x-2)(x+2)=0\) jest równa

\(\left(-\frac{7}{2}\right)\)

\(\left(-\frac{1}{2}\right)\)

\(\frac{1}{2}\)

\(1\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie rozwiązań

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden jego czynnik jest równy zeru.

\[2x-1=0\Rightarrow x=\frac12,\qquad 2x-2=0\Rightarrow x=1,\qquad x+2=0\Rightarrow x=-2\]

2 Obliczenie sumy

Dodajemy wszystkie trzy rozwiązania.

\[\frac12+1-2=-\frac12\]

Odpowiedź

Suma wynosi −1/2. Odpowiedź B.

\[-\frac12\]

Sprawdzenie

Dla każdej z liczb 1/2, 1 i −2 jeden z czynników równania jest zerem. Są to wszystkie rozwiązania, ponieważ każdy czynnik jest liniowy; ich suma wynosi −1/2.

\[\frac12+1+(-2)=-\frac12\]

Zadanie 8

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Punkt \(A=(1,2)\) należy do wykresu funkcji \(f\), określonej wzorem \(f(x)=(m^{2}-3)x^{3}-m^{2}+m+1\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wtedy

\(m=-4\)

\(m=-2\)

\(m=0\)

\(m=4\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych punktu

Ponieważ punkt \(A=(1,2)\) należy do wykresu, mamy \(f(1)=2\).

\[(m^{2}-3)\cdot1^{3}-m^{2}+m+1=2\]

2 Uproszczenie równania

Wyrazy z \(m^{2}\) się redukują, więc możemy obliczyć \(m\).

\[m-2=2\quad\Rightarrow\quad m=4\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: \(m=4\).

\[m=4\]

Sprawdzenie

Dla \(m=4\) wartość funkcji w punkcie \(x=1\) wynosi \(2\), więc punkt \(A\) należy do wykresu.

\[f(1)=(16-3)-16+4+1=2\]

Zadanie 9

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja liniowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=(2m-5)x+22\) jest rosnąca dla

\(m>\frac{2}{5}\)

\(m>2{,}5\)

\(m>0\)

\(m>2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek wzrostu

Funkcja liniowa jest rosnąca wtedy i tylko wtedy, gdy jej współczynnik kierunkowy jest dodatni.

\[2m-5>0\]

2 Rozwiązanie nierówności

Dodajemy 5 do obu stron i dzielimy przez dodatnią liczbę 2.

\[2m>5\quad\Longrightarrow\quad m>\frac{5}{2}=2{,}5\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: m > 2,5.

\[m>2{,}5\]

Sprawdzenie

Dla m = 2,5 współczynnik kierunkowy wynosi 0, więc funkcja jest stała. Dla m > 2,5 jest dodatni, zatem funkcja jest rosnąca.

\[m>2{,}5\ \Longrightarrow\ 2m-5>0\]

Zadanie 10

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=x^{2}+bx+c\) osiąga dla \(x=2\) wartość najmniejszą równą \(4\). Wtedy

\(b=-4,\ c=8\)

\(b=4,\ c=-8\)

\(b=-4,\ c=-8\)

\(b=4,\ c=8\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współczynnika b

Funkcja osiąga minimum w wierzchołku, którego pierwsza współrzędna wynosi \(-\frac{b}{2}\).

\[-\frac{b}{2}=2\quad\Rightarrow\quad b=-4\]

2 Wyznaczenie współczynnika c

Najmniejsza wartość funkcji wynosi \(f(2)=4\), więc podstawiamy \(x=2\).

\[2^2+(-4)\cdot2+c=4\quad\Rightarrow\quad c=8\]

Odpowiedź

Odpowiedź A: \(b=-4\), \(c=8\).

\[b=-4,\quad c=8\]

Sprawdzenie

Po podstawieniu otrzymujemy \(f(x)=(x-2)^2+4\). Kwadrat jest nieujemny, więc najmniejsza wartość to \(4\), osiągana dla \(x=2\).

\[f(x)=x^2-4x+8=(x-2)^2+4\geqslant4\]

Zadanie 11

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Dana jest funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=-2(x-2)(x+1)\). Funkcja \(f\) jest rosnąca w zbiorze

\((-\infty,\frac{1}{2}\rangle\)

\((-1,2)\)

\((0,\frac{5}{2})\)

\(\langle\frac{5}{2},+\infty)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wierzchołka

Sprowadzamy wzór do postaci kanonicznej, aby odczytać, gdzie funkcja zmienia monotoniczność.

\[f(x)=-2x^2+2x+4=-2\left(x-\frac12\right)^2+\frac92\]

2 Ustalenie przedziału wzrostu

Współczynnik przy kwadracie jest ujemny, więc parabola jest skierowana ramionami w dół. Funkcja rośnie do wierzchołka o pierwszej współrzędnej równej \(\frac12\).

\[x\in\left(-\infty,\frac12\right\rangle\]

Odpowiedź

Funkcja jest rosnąca w zbiorze podanym w odpowiedzi A.

\[A:\ \left(-\infty,\frac12\right\rangle\]

Sprawdzenie

Dla \(x_1<x_2\leq\frac12\) mamy \(1-x_1-x_2>0\), zatem \(f(x_2)>f(x_1)\), co potwierdza wzrost na wskazanym zbiorze.

\[f(x_2)-f(x_1)=2(x_2-x_1)(1-x_1-x_2)>0\]

Zadanie 12

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej na zbiorze \(\langle-2,5)\).

Funkcja \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) następująco: \(g(x)=f(x-1)\). Wykres funkcji \(g\) można otrzymać poprzez odpowiednie przesunięcie wykresu funkcji \(f\). Dziedziną funkcji \(g\) jest zbiór

Wykres funkcji f w układzie współrzędnych

\(\langle0,2)\)

\(\langle-1,6)\)

\(\langle-3,4)\)

\(\langle1,3)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek na argument funkcji

Funkcja g(x) jest określona wtedy, gdy argument x−1 należy do dziedziny funkcji f.

\[-2\le x-1<5\]

2 Wyznaczenie dziedziny

Dodajemy 1 do każdej części nierówności.

\[-2+1\le x-1+1<5+1\quad\Longrightarrow\quad -1\le x<6\]

Odpowiedź

Dziedziną funkcji g jest przedział ⟨−1,6), czyli odpowiedź B.

\[D_g=\langle-1,6)\]

Sprawdzenie

Dla x=−1 argument x−1 wynosi −2 i należy do dziedziny f. Dla x=6 argument wynosi 5 i nie należy do dziedziny f, więc lewy koniec jest włączony, a prawy wyłączony.

\[g(-1)=f(-2)\text{ jest określona},\qquad g(6)=f(5)\text{ nie jest określona}\]

Zadanie 13

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dane są ciągi \(a_n=3n\) oraz \(b_n=4n-2\), określone dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Liczba \(10\)

jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i jest wyrazem ciągu \((b_n)\).

jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i nie jest wyrazem ciągu \((b_n)\).

nie jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i jest wyrazem ciągu \((b_n)\).

nie jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i nie jest wyrazem ciągu \((b_n)\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Sprawdzenie ciągu a

Liczba 10 jest wyrazem ciągu tylko wtedy, gdy równanie ma rozwiązanie naturalne spełniające warunek na indeks.

\[3n=10\quad\Longrightarrow\quad n=\frac{10}{3}\notin\mathbb{N}\]

2 Sprawdzenie ciągu b

Wyznaczamy indeks i sprawdzamy, czy jest liczbą naturalną nie mniejszą od 1.

\[4n-2=10\quad\Longrightarrow\quad 4n=12\quad\Longrightarrow\quad n=3\]

Odpowiedź

C. Liczba 10 nie jest wyrazem ciągu (aₙ), ale jest wyrazem ciągu (bₙ).

\[10\notin\{a_n:n\geq1\},\qquad 10=b_3\]

Sprawdzenie

Indeks 3 spełnia warunek n ≥ 1 i daje b₃ = 10. W ciągu aₙ liczba 10 wymagałaby indeksu 10/3, który nie jest liczbą naturalną.

\[b_3=4\cdot3-2=10,\qquad \frac{10}{3}\notin\mathbb{N}\]

Zadanie 14

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu \((a_n)\) są równe \(2\). Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa

\(1\)

\(11\)

\(21\)

\(31\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie pierwszego wyrazu

W ciągu geometrycznym drugi wyraz jest iloczynem pierwszego wyrazu i ilorazu. Ponieważ oba podane w zadaniu wynoszą 2, obliczamy pierwszy wyraz.

\[a_2=a_1q,\quad 2=2a_1,\quad a_1=1\]

2 Obliczenie sumy

Każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez 2, więc zapisujemy i dodajemy pięć pierwszych wyrazów.

\[S_5=1+2+4+8+16=31\]

Odpowiedź

Suma wynosi 31. Odpowiedź D.

\[S_5=31\]

Sprawdzenie

Wyznaczone wyrazy spełniają warunki zadania: drugi wyraz to 2, a iloraz każdego kolejnego wyrazu przez poprzedni wynosi 2. Ich suma wynosi 31.

\[a_2=2,\quad \frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{1}=2,\quad \frac{a_3}{a_2}=\frac{4}{2}=2,\quad 1+2+4+8+16=31\]

Zadanie 15

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

W ciągu dwóch godzin trzy jednakowe maszyny produkują razem \(1200\) guzików. Ile guzików wyprodukuje pięć takich maszyn w ciągu jednej godziny? Przyjmij, że maszyny pracują z taką samą, stałą wydajnością.

\(800\)

\(900\)

\(1000\)

\(1500\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wydajność jednej maszyny

Dzielimy liczbę guzików przez liczbę maszyn i godzin, ponieważ wszystkie maszyny pracują ze stałą wydajnością.

\[\frac{1200}{3\cdot 2}=200\ \text{guzików na godzinę}\]

2 Produkcja pięciu maszyn

Mnożymy wydajność jednej maszyny przez pięć, aby obliczyć produkcję w ciągu jednej godziny.

\[5\cdot 200=1000\ \text{guzików}\]

Odpowiedź

Pięć maszyn wyprodukuje 1000 guzików. Odpowiedź C.

\[1000\ \text{guzików}\quad (\text{C})\]

Sprawdzenie

Przy obliczonej wydajności trzy maszyny w ciągu dwóch godzin produkują 1200 guzików, zgodnie z treścią zadania.

\[3\cdot 2\cdot 200=1200\]

Zadanie 16

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a przeciwprostokątna \(AB\) ma długość \(3\sqrt{5}\). Wtedy tangens kąta ostrego \(CAB\) tego trójkąta jest równy

\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)

\(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)

\(\frac{1}{2}\)

\(2\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie drugiej przyprostokątnej

Ponieważ AB jest przeciwprostokątną, z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość BC.

\[BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(3\sqrt{5})^2-6^2}=\sqrt{45-36}=3\]

2 Obliczenie tangensa

Dla kąta CAB przyprostokątną naprzeciwległą jest BC, a przyległą AC.

\[\operatorname{tg}\angle CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]

Odpowiedź

Tangens kąta CAB wynosi 1/2. Odpowiedź C.

\[\operatorname{tg}\angle CAB=\frac{1}{2}\]

Sprawdzenie

Obliczone długości spełniają twierdzenie Pitagorasa: 3² + 6² = 45 = (3√5)².

\[3^2+6^2=45=(3\sqrt{5})^2\]

Zadanie 17

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Nie istnieje kąt ostry \(\alpha\) taki, że

\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\) i \(\cos\alpha=\frac{2}{3}\)

\(\sin\alpha=\frac{5}{13}\) i \(\cos\alpha=\frac{12}{13}\)

\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\) i \(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)

\(\sin\alpha=\frac{9}{15}\) i \(\cos\alpha=\frac{12}{15}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie tożsamości

Dla każdego kąta zachodzi tożsamość \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), więc sprawdzamy ją dla podanych par.

\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]

2 Sprawdzenie odpowiedzi

W odpowiedzi A suma kwadratów jest różna od \(1\). Pozostałe pary spełniają tożsamość.

\[\begin{aligned}\text{A: }&\frac{1^2+2^2}{3^2}=\frac59\ne1,\\\text{B: }&\frac{5^2+12^2}{13^2}=1,\\\text{C: }&\frac{3^2+4^2}{5^2}=1,\\\text{D: }&\frac{9^2+12^2}{15^2}=1.\end{aligned}\]

Odpowiedź

A — nie istnieje taki kąt ostry.

\[\boxed{\text{A}}\]

Sprawdzenie

W A wartości sinus i cosinus naruszają tożsamość obowiązującą dla każdego kąta. W B, C i D obie wartości są dodatnie, mniejsze od 1 i spełniają tożsamość, więc mogą odpowiadać kątom ostrym.

\[\frac59\ne1,\qquad \frac{169}{169}=\frac{25}{25}=\frac{225}{225}=1\]

Zadanie 18

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Wierzchołki \(A\), \(B\), \(C\) czworokąta \(ABSC\) leżą na okręgu o środku \(S\). Kąt \(ABS\) ma miarę \(40^\circ\) (zobacz rysunek), a przekątna \(BC\) jest dwusieczną tego kąta.

Miara kąta \(ASC\) jest równa

Okrąg o środku S, z punktami A, B i C na okręgu oraz zaznaczonym kątem ABS o mierze 40°.

\(30^\circ\)

\(40^\circ\)

\(50^\circ\)

\(60^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt przy wierzchołku B

Przekątna BC jest dwusieczną kąta ABS, więc dzieli kąt 40° na dwie równe części.

\[\angle ABC=\frac{40^\circ}{2}=20^\circ\]

2 Kąt środkowy

Kąt wpisany ABC i kąt środkowy ASC są oparte na tym samym łuku AC, dlatego kąt środkowy jest dwa razy większy.

\[\angle ASC=2\angle ABC=2\cdot20^\circ=40^\circ\]

Odpowiedź

Miara kąta ASC wynosi 40°, czyli odpowiedź B.

\[\angle ASC=40^\circ\]

Sprawdzenie

Ponieważ SA=SB, trójkąt ABS jest równoramienny, zatem kąt ASB ma 100°. Z rysunku wynika wtedy, że kąt BSC ma 140°. W trójkącie równoramiennym BSC kąt CBS ma 20°, zgodnie z tym, że BC dzieli kąt ABS na połowy.

\[\angle ASB=180^\circ-2\cdot40^\circ=100^\circ,\quad \angle BSC=100^\circ+40^\circ=140^\circ,\quad \angle CBS=\frac{180^\circ-140^\circ}{2}=20^\circ\]

Zadanie 19

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Punkty \(A\) oraz \(B\) leżą na okręgu o środku \(S\). Kąt środkowy \(ASB\) ma miarę \(100^\circ\). Prosta \(l\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \(A\) i tworzy z cięciwą \(AB\) okręgu kąt o mierze \(\alpha\) (zobacz rysunek).

Wtedy

Okrąg o środku S z punktami A i B, kątem środkowym ASB o mierze 100° oraz styczną l w punkcie A tworzącą z cięciwą AB kąt α.

\(\alpha=40^\circ\)

\(\alpha=45^\circ\)

\(\alpha=50^\circ\)

\(\alpha=60^\circ\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie kąta przy A

Promienie SA i SB są równe, więc trójkąt ASB jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie mają równe miary.

\[\angle SAB=\frac{180^\circ-100^\circ}{2}=40^\circ\]

2 Obliczenie kąta ze styczną

Promień SA jest prostopadły do stycznej w punkcie A, dlatego kąt między cięciwą AB a styczną dopełnia kąt SAB do 90°.

\[\alpha=90^\circ-40^\circ=50^\circ\]

Odpowiedź

Odpowiedź C: α = 50°.

\[\alpha=50^\circ\]

Sprawdzenie

Kąt SAB ma 40°, a promień SA tworzy ze styczną kąt 90°. Suma 40° + 50° = 90°, więc obliczony kąt α jest zgodny z rysunkiem.

\[40^\circ+50^\circ=90^\circ\]

Zadanie 20

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole prostokąta jest równe 16, a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym \(\alpha\), takim, że \(\sin\alpha=0{,}2\). Długość przekątnej tego prostokąta jest równa

\(4\sqrt{5}\)

\(4\sqrt{10}\)

\(80\)

\(160\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisanie pola przez przekątne

Przekątne prostokąta są równe i dzielą się na połowy. Cztery powstałe trójkąty mają więc łączne pole równe połowie iloczynu kwadratów długości przekątnej i sinusa kąta między przekątnymi.

\[P=4\cdot\frac12\cdot\frac d2\cdot\frac d2\sin\alpha=\frac{d^2\sin\alpha}{2}\]

2 Obliczenie długości

Podstawiamy dane o polu i kącie, a następnie wybieramy dodatnią długość.

\[16=\frac{d^2\cdot0{,}2}{2}=0{,}1d^2,\qquad d^2=160,\qquad d=4\sqrt{10}\]

Odpowiedź

B. Długość przekątnej wynosi 4√10.

\[d=4\sqrt{10}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej długości wzór na pole daje 16, zgodnie z treścią zadania.

\[\frac{(4\sqrt{10})^2\cdot0{,}2}{2}=16\]

Zadanie 21

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste o równaniach \(y=\frac{2}{3}x-3\) oraz \(y=(2m-1)x+1\) są prostopadłe, gdy

\(m=-\frac{5}{4}\)

\(m=-\frac{1}{4}\)

\(m=\frac{5}{6}\)

\(m=\frac{5}{4}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek prostopadłości

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi \(-1\).

\[\frac{2}{3}(2m-1)=-1\]

2 Obliczenie parametru

Dzielimy przez \(\frac{2}{3}\), a następnie rozwiązujemy równanie liniowe.

\[2m-1=-\frac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad 2m=-\frac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad m=-\frac{1}{4}\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(m=-\frac{1}{4}\).

\[m=-\frac{1}{4}\]

Sprawdzenie

Dla otrzymanej wartości drugi współczynnik kierunkowy wynosi \(-\frac{3}{2}\), a iloczyn współczynników jest równy \(-1\).

\[\frac{2}{3}\left(2\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)-1\right)=\frac{2}{3}\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-1\]

Zadanie 22

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(1,-3)\) oraz \(C=(-2,4)\) są końcami przekątnej \(AC\) rombu \(ABCD\). Środek przekątnej \(BD\) tego rombu ma współrzędne

\(\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\)

\(\left(\frac{1}{2},-\frac{3}{2}\right)\)

\((-1,2)\)

\((-1,1)\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wspólny środek przekątnych

Romb jest równoległobokiem, więc jego przekątne dzielą się na połowy. Środek przekątnej BD jest zatem środkiem odcinka AC.

\[S_{BD}=S_{AC}\]

2 Obliczenie współrzędnych

Współrzędne środka odcinka są średnimi odpowiednich współrzędnych jego końców.

\[S_{BD}=\left(\frac{1+(-2)}{2},\frac{-3+4}{2}\right)=\left(-\frac12,\frac12\right)\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\left(-\frac12,\frac12\right)\]

Sprawdzenie

Otrzymany punkt jest środkiem AC: różnice współrzędnych między nim a A oraz między C a nim są równe.

\[\left(-\frac12,\frac12\right)-(1,-3)=\left(-\frac32,\frac72\right)=(-2,4)-\left(-\frac12,\frac12\right)\]

Zadanie 23

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkty \(A=(-6,5)\), \(B=(5,7)\), \(C=(10,-3)\) są wierzchołkami równoległoboku \(ABCD\). Długość przekątnej \(BD\) tego równoległoboku jest równa

\(3\sqrt{5}\)

\(4\sqrt{5}\)

\(6\sqrt{5}\)

\(8\sqrt{5}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu D

W równoległoboku przeciwległe boki mają równe wektory, więc \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).

\[D=A+(C-B)=(-6,5)+(5,-10)=(-1,-5)\]

2 Obliczenie długości przekątnej

Stosujemy wzór na odległość punktów \(B\) i \(D\).

\[|BD|=\sqrt{(-1-5)^2+(-5-7)^2}=\sqrt{36+144}=6\sqrt{5}\]

Odpowiedź

Długość przekątnej BD wynosi 6√5. Odpowiedź C.

\[|BD|=6\sqrt{5}\]

Sprawdzenie

Wektor AD jest równy wektorowi BC, więc wyznaczony punkt D tworzy wskazany równoległobok. Ponadto (6√5)² = 180 = 6² + 12².

\[\overrightarrow{AD}=(5,-10)=\overrightarrow{BC},\qquad (6\sqrt{5})^2=6^2+12^2\]

Zadanie 24

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Obrazem prostej o równaniu \(y=2x+5\) w symetrii osiowej względem osi \(Ox\) jest prosta o równaniu

\(y=2x-5\)

\(y=-2x-5\)

\(y=-2x+5\)

\(y=2x+5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie symetrii

Symetria względem osi \(Ox\) zachowuje współrzędną \(x\) i zmienia znak współrzędnej \(y\). Dlatego w równaniu prostej zastępujemy \(y\) przez \(-y\).

\[-y=2x+5\quad\Longrightarrow\quad y=-2x-5\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: \(y=-2x-5\).

\[y=-2x-5\]

Sprawdzenie

Punkty \((0,5)\) i \((1,7)\) leżą na danej prostej. Ich obrazy \((0,-5)\) i \((1,-7)\) spełniają otrzymane równanie.

\[-5=-2\cdot 0-5,\qquad -7=-2\cdot 1-5\]

Zadanie 25

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

W graniastosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich krawędzi do liczby wszystkich ścian jest równy \(7:3\). Podstawą tego graniastosłupa jest

trójkąt.

pięciokąt.

siedmiokąt.

ośmiokąt.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policzenie krawędzi i ścian

Jeśli podstawa jest n-kątem, graniastosłup ma po n krawędzi w każdej podstawie oraz n krawędzi bocznych. Ma też n ścian bocznych i dwie podstawy.

\[K=3n,\qquad S=n+2\]

2 Wyznaczenie liczby boków podstawy

Podstawiamy te liczby do podanego stosunku i rozwiązujemy równanie.

\[\frac{3n}{n+2}=\frac{7}{3}\quad\Longrightarrow\quad 9n=7n+14\quad\Longrightarrow\quad n=7\]

Odpowiedź

C. Podstawą jest siedmiokąt.

\[n=7\]

Sprawdzenie

Dla siedmiokąta graniastosłup ma 21 krawędzi i 9 ścian, więc ich stosunek wynosi 7:3.

\[\frac{21}{9}=\frac{7}{3}\]

Zadanie 26

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Średnia arytmetyczna zestawu liczb \(a, b, c, d\) jest równa \(20\). Wtedy średnia arytmetyczna zestawu liczb \(a-10, b+30, c, d\) jest równa

\(10\)

\(20\)

\(25\)

\(30\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie sumy

Średnia czterech liczb wynosi 20, więc ich suma jest cztery razy większa.

\[a+b+c+d=4\cdot20=80\]

2 Obliczenie nowej średniej

Zmiany dwóch liczb zwiększają sumę o 20; dzielimy nową sumę przez 4.

\[\frac{(a-10)+(b+30)+c+d}{4}=\frac{80-10+30}{4}=25\]

Odpowiedź

Średnia wynosi 25. Odpowiedź C.

\[25\]

Sprawdzenie

Suma wzrosła o 20, więc średnia czterech liczb wzrosła o 5: z 20 do 25.

\[20+\frac{20}{4}=25\]

Zadanie 27

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Wszystkich trzycyfrowych liczb naturalnych większych od \(300\) o wszystkich cyfrach parzystych jest

\(6\cdot10\cdot10\)

\(3\cdot10\cdot10\)

\(6\cdot5\cdot5\)

\(3\cdot5\cdot5\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wybór cyfry setek

Liczba ma być większa od 300, a cyfra setek parzysta. Możliwe są więc trzy cyfry setek.

\[4,\ 6,\ 8\]

2 Wybór pozostałych cyfr

Cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności wybieramy niezależnie spośród pięciu cyfr parzystych. Z zasady mnożenia otrzymujemy liczbę możliwości.

\[3\cdot5\cdot5=75\]

Odpowiedź

Jest 75 takich liczb. Odpowiedź D.

\[75=3\cdot5\cdot5\]

Sprawdzenie

Dla każdej z trzech cyfr setek powstaje 25 liczb. Wszystkie są większe od 300 i mają wyłącznie cyfry parzyste.

\[5\cdot5=25,\qquad 3\cdot25=75\]

Zadanie 28

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek – od jednego do sześciu. Niech \(p\) oznacza prawdopodobieństwo otrzymania w drugim rzucie liczby oczek podzielnej przez \(3\). Wtedy

\(p=\frac{1}{18}\)

\(p=\frac{1}{6}\)

\(p=\frac{1}{3}\)

\(p=\frac{2}{3}\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wskazanie korzystnych wyników

W drugim rzucie liczba oczek podzielna przez 3 to 3 lub 6, czyli dwa z sześciu jednakowo prawdopodobnych wyników.

\[p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\]

Odpowiedź

Odpowiedź C.

\[p=\frac{1}{3}\]

Sprawdzenie

W dwóch rzutach jest 36 jednakowo prawdopodobnych par wyników. W 12 z nich drugi wynik to 3 lub 6, więc otrzymujemy to samo prawdopodobieństwo.

\[\frac{12}{36}=\frac{1}{3}\]

Zadanie 29

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność \(3x^2-8x\geq 3\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Porównujemy trójmian kwadratowy z zerem, aby wyznaczyć przedziały, w których jest nieujemny.

\[3x^2-8x\geq 3\iff 3x^2-8x-3\geq 0\]

2 Oblicz miejsca zerowe

Miejsca zerowe dzielą oś liczbową na przedziały o stałym znaku trójmianu.

\[\Delta=(-8)^2-4\cdot3\cdot(-3)=100,\qquad x_1=\frac{8-10}{6}=-\frac13,\quad x_2=\frac{8+10}{6}=3\]

3 Wyznacz rozwiązanie

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian jest nieujemny poza przedziałem między miejscami zerowymi. Końce należą do rozwiązania, ponieważ nierówność jest nieostra.

\[x\in\left(-\infty,-\frac13\right]\cup[3,\infty)\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest suma przedziałów od minus nieskończoności do minus jednej trzeciej włącznie oraz od trzech włącznie do nieskończoności.

\[x\in\left(-\infty,-\frac13\right]\cup[3,\infty)\]

Sprawdzenie

Po rozłożeniu trójmianu na czynniki iloczyn jest nieujemny dla wskazanych wartości x; w obu końcach jest równy zeru.

\[3x^2-8x-3=(3x+1)(x-3)\geq0\quad\text{dla}\quad x\leq-\frac13\ \text{lub}\ x\geq3\]

Zadanie 30

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Trójwyrazowy ciąg \((x, y-4, y)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(6\). Oblicz wszystkie wyrazy tego ciągu.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu arytmetycznego

Środkowy wyraz ciągu arytmetycznego jest średnią sąsiednich wyrazów.

\[2(y-4)=x+y\quad\Rightarrow\quad x=y-8\]

2 Suma wyrazów

Podstawiamy wyrażenie na \(x\) do równania opisującego sumę.

\[x+(y-4)+y=6\quad\Rightarrow\quad (y-8)+2y-4=6\quad\Rightarrow\quad 3y=18\quad\Rightarrow\quad y=6\]

3 Wyznaczenie wyrazów

Obliczamy pierwszy i środkowy wyraz.

\[x=6-8=-2,\qquad y-4=6-4=2\]

Odpowiedź

Wyrazy ciągu to \((-2,2,6)\).

\[(-2,2,6)\]

Sprawdzenie

Obie różnice są równe \(4\), a suma wyrazów wynosi \(6\).

\[2-(-2)=6-2=4,\qquad -2+2+6=6\]

Zadanie 31

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) różnej od \(0\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) różnej od \(0\) spełniona jest nierówność \(2a^2-4ab+5b^2>0\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uzupełnienie do kwadratu

Zapisujemy wyrażenie jako sumę składników, których znaki łatwo ustalić.

\[2a^2-4ab+5b^2=2(a-b)^2+3b^2\]

2 Wykazanie dodatniości

Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, a ponieważ \(b\neq 0\), mamy \(3b^2>0\). Cała suma jest więc dodatnia.

\[2(a-b)^2\geq 0,\qquad 3b^2>0\quad\Longrightarrow\quad 2a^2-4ab+5b^2>0\]

Odpowiedź

Nierówność zachodzi dla wszystkich podanych liczb \(a\) i \(b\).

\[2a^2-4ab+5b^2>0\]

Sprawdzenie

Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy wyjściowe wyrażenie. Warunek \(b\neq 0\) zapewnia ścisłą dodatniość nawet wtedy, gdy \(a=b\).

\[2(a-b)^2+3b^2=2a^2-4ab+2b^2+3b^2=2a^2-4ab+5b^2\]

Zadanie 32

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż równanie \(\frac{4}{x+2}=x-1\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Dziedzina

Mianownik musi być różny od zera, więc wykluczamy \(x=-2\).

\[x+2\ne 0\quad\Longrightarrow\quad x\ne -2\]

2 Usunięcie mianownika

Mnożymy obie strony równania przez \(x+2\), które w dziedzinie jest różne od zera.

\[\frac{4}{x+2}=x-1\quad\Longrightarrow\quad 4=(x-1)(x+2)\]

3 Rozwiązanie równania kwadratowego

Rozwijamy iloczyn i rozkładamy trójmian na czynniki. Iloczyn jest zerem, gdy co najmniej jeden czynnik jest zerem.

\[4=x^2+x-2\quad\Longrightarrow\quad x^2+x-6=0\quad\Longrightarrow\quad (x+3)(x-2)=0\quad\Longrightarrow\quad x=-3\ \text{lub}\ x=2\]

Odpowiedź

Rozwiązania równania to \(x=-3\) i \(x=2\).

\[x\in\{-3,2\}\]

Sprawdzenie

Obie liczby należą do dziedziny. Dla \(x=-3\) obie strony równania są równe \(-4\), a dla \(x=2\) są równe \(1\).

\[\frac{4}{-3+2}=-4=-3-1,\qquad \frac{4}{2+2}=1=2-1\]

Zadanie 33

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\) o boku długości \(24\). Punkt \(E\) leży na boku \(AB\), a punkt \(F\) – na boku \(BC\) tego trójkąta. Odcinek \(EF\) jest równoległy do boku \(AC\) i przechodzi przez środek \(S\) wysokości \(CD\) trójkąta \(ABC\) (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka \(EF\).

Trójkąt równoboczny ABC o boku 24. Punkty E i D leżą na boku AB, punkt F na boku BC. Wysokość CD przecina odcinek EF w punkcie S.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości AE

W trójkącie równobocznym wysokość CD dzieli podstawę na połowy. Ponieważ S jest środkiem CD i ES jest równoległy do AC, z twierdzenia o odcinku łączącym środki boków trójkąta ACD wynika, że E jest środkiem AD.

\[AD=\frac{AB}{2}=12,\qquad AE=\frac{AD}{2}=6\]

2 Obliczenie EF

Trójkąty EBF i ABC są podobne, ponieważ EF jest równoległy do AC. Stosunek odpowiadających boków pozwala obliczyć EF.

\[BE=AB-AE=24-6=18,\qquad \frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}=\frac{18}{24},\qquad EF=24\cdot\frac{18}{24}=18\]

Odpowiedź

Długość odcinka EF wynosi 18.

\[EF=18\]

Sprawdzenie

Otrzymany stosunek podobieństwa to 3/4. Daje on BE=3/4·24=18, zgodnie z położeniem E wyznaczonym przez środek wysokości.

\[\frac{EF}{AC}=\frac{18}{24}=\frac34=\frac{BE}{BA}\]

Zadanie 34

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru pięciu liczb \(\{-5,-4,1,2,3\}\) losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu dwóch liczb, których iloczyn jest ujemny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Losujemy dwukrotnie ze zwracaniem, więc w każdym losowaniu mamy 5 możliwości. Kolejność ma znaczenie.

\[|\Omega|=5\cdot5=25\]

2 Liczba wyników sprzyjających

Iloczyn jest ujemny, gdy jedna liczba jest ujemna, a druga dodatnia. W zbiorze są 2 liczby ujemne i 3 dodatnie; mogą wystąpić w obu kolejnościach.

\[|A|=2\cdot3+3\cdot2=12\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Wszystkie uporządkowane pary są jednakowo prawdopodobne, więc dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{12}{25}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 12/25.

\[P(A)=\frac{12}{25}\]

Sprawdzenie

Iloczyn jest dodatni dla dwóch liczb ujemnych lub dwóch dodatnich. Takich par jest 4+9=13, a wraz z 12 parami o iloczynie ujemnym daje to wszystkie 25 par.

\[2\cdot2+3\cdot3+12=4+9+12=25\]

Zadanie 35

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Stereometria

Dany jest graniastosłup prosty \(ABCDEFGH\), którego podstawą jest prostokąt \(ABCD\). W tym graniastosłupie \(|BD|=15\), a ponadto \(|CD|=3+|BC|\) oraz \(|\angle CDG|=60^\circ\) (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

Graniastosłup prosty ABCDEFGH o podstawie ABCD; zaznaczono przekątną BD długości 15 oraz kąt CDG równy 60°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długości boków podstawy

Oznaczamy \(|BC|=x>0\), więc \(|CD|=x+3\). Przekątna prostokąta tworzy z jego bokami trójkąt prostokątny, dlatego stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[x^2+(x+3)^2=15^2\;\Longrightarrow\;x^2+3x-108=0\;\Longrightarrow\;(x-9)(x+12)=0\]

2 Wybór dodatniego rozwiązania

Długość boku musi być dodatnia, więc odrzucamy \(x=-12\).

\[|BC|=9,\qquad |CD|=12\]

3 Wysokość graniastosłupa

W trójkącie \(DCG\) kąt przy \(C\) jest prosty. Z tangensa kąta \(CDG\) obliczamy wysokość \(h=|CG|\).

\[\tan 60^\circ=\frac{h}{|CD|}\;\Longrightarrow\;h=12\sqrt{3}\]

4 Objętość i pole boczne

Objętość to pole podstawy razy wysokość, a pole boczne graniastosłupa prostego to obwód podstawy razy wysokość.

\[V=(9\cdot12)\cdot12\sqrt{3}=1296\sqrt{3},\qquad P_b=2(9+12)\cdot12\sqrt{3}=504\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Objętość wynosi \(1296\sqrt{3}\) jednostek sześciennych, a pole powierzchni bocznej \(504\sqrt{3}\) jednostek kwadratowych.

\[V=1296\sqrt{3},\qquad P_b=504\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Otrzymane boki spełniają warunki: ich różnica wynosi 3, przekątna ma długość 15, a iloraz wysokości i boku \(CD\) jest równy tangensowi kąta \(60^\circ\).

\[12-9=3,\qquad \sqrt{9^2+12^2}=15,\qquad \frac{12\sqrt{3}}{12}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ\]