Zamknięte1 pkt
Pole prostokąta jest równe 16, a przekątne tego prostokąta przecinają się pod kątem ostrym \(\alpha\), takim, że \(\sin\alpha=0{,}2\). Długość przekątnej tego prostokąta jest równa
A
\(4\sqrt{5}\)
B
\(4\sqrt{10}\)
C
\(80\)
D
\(160\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisanie pola przez przekątne
Przekątne prostokąta są równe i dzielą się na połowy. Cztery powstałe trójkąty mają więc łączne pole równe połowie iloczynu kwadratów długości przekątnej i sinusa kąta między przekątnymi.
\[P=4\cdot\frac12\cdot\frac d2\cdot\frac d2\sin\alpha=\frac{d^2\sin\alpha}{2}\]
2 Obliczenie długości
Podstawiamy dane o polu i kącie, a następnie wybieramy dodatnią długość.
\[16=\frac{d^2\cdot0{,}2}{2}=0{,}1d^2,\qquad d^2=160,\qquad d=4\sqrt{10}\]
Odpowiedź
B. Długość przekątnej wynosi 4√10.
\[d=4\sqrt{10}\]
Sprawdzenie
Dla otrzymanej długości wzór na pole daje 16, zgodnie z treścią zadania.
\[\frac{(4\sqrt{10})^2\cdot0{,}2}{2}=16\]