Otwarte2 pkt
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) różnej od \(0\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) różnej od \(0\) spełniona jest nierówność \(2a^2-4ab+5b^2>0\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Uzupełnienie do kwadratu
Zapisujemy wyrażenie jako sumę składników, których znaki łatwo ustalić.
\[2a^2-4ab+5b^2=2(a-b)^2+3b^2\]
2 Wykazanie dodatniości
Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, a ponieważ \(b\neq 0\), mamy \(3b^2>0\). Cała suma jest więc dodatnia.
\[2(a-b)^2\geq 0,\qquad 3b^2>0\quad\Longrightarrow\quad 2a^2-4ab+5b^2>0\]
Odpowiedź
Nierówność zachodzi dla wszystkich podanych liczb \(a\) i \(b\).
\[2a^2-4ab+5b^2>0\]
Sprawdzenie
Po rozwinięciu kwadratu otrzymujemy wyjściowe wyrażenie. Warunek \(b\neq 0\) zapewnia ścisłą dodatniość nawet wtedy, gdy \(a=b\).
\[2(a-b)^2+3b^2=2a^2-4ab+2b^2+3b^2=2a^2-4ab+5b^2\]