Zamknięte1 pkt
Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Drugi wyraz tego ciągu oraz iloraz ciągu \((a_n)\) są równe \(2\). Suma pięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
A
\(1\)
B
\(11\)
C
\(21\)
D
\(31\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie pierwszego wyrazu
W ciągu geometrycznym drugi wyraz jest iloczynem pierwszego wyrazu i ilorazu. Ponieważ oba podane w zadaniu wynoszą 2, obliczamy pierwszy wyraz.
\[a_2=a_1q,\quad 2=2a_1,\quad a_1=1\]
2 Obliczenie sumy
Każdy kolejny wyraz otrzymujemy przez pomnożenie poprzedniego przez 2, więc zapisujemy i dodajemy pięć pierwszych wyrazów.
\[S_5=1+2+4+8+16=31\]
Odpowiedź
Suma wynosi 31. Odpowiedź D.
\[S_5=31\]
Sprawdzenie
Wyznaczone wyrazy spełniają warunki zadania: drugi wyraz to 2, a iloraz każdego kolejnego wyrazu przez poprzedni wynosi 2. Ich suma wynosi 31.
\[a_2=2,\quad \frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{1}=2,\quad \frac{a_3}{a_2}=\frac{4}{2}=2,\quad 1+2+4+8+16=31\]