Zamknięte1 pkt
Dane są ciągi \(a_n=3n\) oraz \(b_n=4n-2\), określone dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Liczba \(10\)
A
jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i jest wyrazem ciągu \((b_n)\).
B
jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i nie jest wyrazem ciągu \((b_n)\).
C
nie jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i jest wyrazem ciągu \((b_n)\).
D
nie jest wyrazem ciągu \((a_n)\) i nie jest wyrazem ciągu \((b_n)\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Sprawdzenie ciągu a
Liczba 10 jest wyrazem ciągu tylko wtedy, gdy równanie ma rozwiązanie naturalne spełniające warunek na indeks.
\[3n=10\quad\Longrightarrow\quad n=\frac{10}{3}\notin\mathbb{N}\]
2 Sprawdzenie ciągu b
Wyznaczamy indeks i sprawdzamy, czy jest liczbą naturalną nie mniejszą od 1.
\[4n-2=10\quad\Longrightarrow\quad 4n=12\quad\Longrightarrow\quad n=3\]
Odpowiedź
C. Liczba 10 nie jest wyrazem ciągu (aₙ), ale jest wyrazem ciągu (bₙ).
\[10\notin\{a_n:n\geq1\},\qquad 10=b_3\]
Sprawdzenie
Indeks 3 spełnia warunek n ≥ 1 i daje b₃ = 10. W ciągu aₙ liczba 10 wymagałaby indeksu 10/3, który nie jest liczbą naturalną.
\[b_3=4\cdot3-2=10,\qquad \frac{10}{3}\notin\mathbb{N}\]