Otwarte2 pkt
Rozwiąż nierówność \(3x^2-8x\geq 3\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Przenieś wyrazy na jedną stronę
Porównujemy trójmian kwadratowy z zerem, aby wyznaczyć przedziały, w których jest nieujemny.
\[3x^2-8x\geq 3\iff 3x^2-8x-3\geq 0\]
2 Oblicz miejsca zerowe
Miejsca zerowe dzielą oś liczbową na przedziały o stałym znaku trójmianu.
\[\Delta=(-8)^2-4\cdot3\cdot(-3)=100,\qquad x_1=\frac{8-10}{6}=-\frac13,\quad x_2=\frac{8+10}{6}=3\]
3 Wyznacz rozwiązanie
Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian jest nieujemny poza przedziałem między miejscami zerowymi. Końce należą do rozwiązania, ponieważ nierówność jest nieostra.
\[x\in\left(-\infty,-\frac13\right]\cup[3,\infty)\]
Odpowiedź
Rozwiązaniem jest suma przedziałów od minus nieskończoności do minus jednej trzeciej włącznie oraz od trzech włącznie do nieskończoności.
\[x\in\left(-\infty,-\frac13\right]\cup[3,\infty)\]
Sprawdzenie
Po rozłożeniu trójmianu na czynniki iloczyn jest nieujemny dla wskazanych wartości x; w obu końcach jest równy zeru.
\[3x^2-8x-3=(3x+1)(x-3)\geq0\quad\text{dla}\quad x\leq-\frac13\ \text{lub}\ x\geq3\]