Zamknięte1 pkt
Dana jest funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x)=-2(x-2)(x+1)\). Funkcja \(f\) jest rosnąca w zbiorze
A
\((-\infty,\frac{1}{2}\rangle\)
B
\((-1,2)\)
C
\((0,\frac{5}{2})\)
D
\(\langle\frac{5}{2},+\infty)\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie wierzchołka
Sprowadzamy wzór do postaci kanonicznej, aby odczytać, gdzie funkcja zmienia monotoniczność.
\[f(x)=-2x^2+2x+4=-2\left(x-\frac12\right)^2+\frac92\]
2 Ustalenie przedziału wzrostu
Współczynnik przy kwadracie jest ujemny, więc parabola jest skierowana ramionami w dół. Funkcja rośnie do wierzchołka o pierwszej współrzędnej równej \(\frac12\).
\[x\in\left(-\infty,\frac12\right\rangle\]
Odpowiedź
Funkcja jest rosnąca w zbiorze podanym w odpowiedzi A.
\[A:\ \left(-\infty,\frac12\right\rangle\]
Sprawdzenie
Dla \(x_1<x_2\leq\frac12\) mamy \(1-x_1-x_2>0\), zatem \(f(x_2)>f(x_1)\), co potwierdza wzrost na wskazanym zbiorze.
\[f(x_2)-f(x_1)=2(x_2-x_1)(1-x_1-x_2)>0\]