Zadanie 33 — matura 2022, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\) o boku długości \(24\). Punkt \(E\) leży na boku \(AB\), a punkt \(F\) – na boku \(BC\) tego trójkąta. Odcinek \(EF\) jest równoległy do boku \(AC\) i przechodzi przez środek \(S\) wysokości \(CD\) trójkąta \(ABC\) (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka \(EF\).

Trójkąt równoboczny ABC o boku 24. Punkty E i D leżą na boku AB, punkt F na boku BC. Wysokość CD przecina odcinek EF w punkcie S.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie długości AE

W trójkącie równobocznym wysokość CD dzieli podstawę na połowy. Ponieważ S jest środkiem CD i ES jest równoległy do AC, z twierdzenia o odcinku łączącym środki boków trójkąta ACD wynika, że E jest środkiem AD.

\[AD=\frac{AB}{2}=12,\qquad AE=\frac{AD}{2}=6\]

2 Obliczenie EF

Trójkąty EBF i ABC są podobne, ponieważ EF jest równoległy do AC. Stosunek odpowiadających boków pozwala obliczyć EF.

\[BE=AB-AE=24-6=18,\qquad \frac{EF}{AC}=\frac{BE}{BA}=\frac{18}{24},\qquad EF=24\cdot\frac{18}{24}=18\]

Odpowiedź

Długość odcinka EF wynosi 18.

\[EF=18\]

Sprawdzenie

Otrzymany stosunek podobieństwa to 3/4. Daje on BE=3/4·24=18, zgodnie z położeniem E wyznaczonym przez środek wysokości.

\[\frac{EF}{AC}=\frac{18}{24}=\frac34=\frac{BE}{BA}\]