Zadanie 35 — matura 2022, sierpień | Matematyka podstawowa, F-2015

Matura 2022 · sierpień · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Dany jest graniastosłup prosty \(ABCDEFGH\), którego podstawą jest prostokąt \(ABCD\). W tym graniastosłupie \(|BD|=15\), a ponadto \(|CD|=3+|BC|\) oraz \(|\angle CDG|=60^\circ\) (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.

Graniastosłup prosty ABCDEFGH o podstawie ABCD; zaznaczono przekątną BD długości 15 oraz kąt CDG równy 60°.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Długości boków podstawy

Oznaczamy \(|BC|=x>0\), więc \(|CD|=x+3\). Przekątna prostokąta tworzy z jego bokami trójkąt prostokątny, dlatego stosujemy twierdzenie Pitagorasa.

\[x^2+(x+3)^2=15^2\;\Longrightarrow\;x^2+3x-108=0\;\Longrightarrow\;(x-9)(x+12)=0\]

2 Wybór dodatniego rozwiązania

Długość boku musi być dodatnia, więc odrzucamy \(x=-12\).

\[|BC|=9,\qquad |CD|=12\]

3 Wysokość graniastosłupa

W trójkącie \(DCG\) kąt przy \(C\) jest prosty. Z tangensa kąta \(CDG\) obliczamy wysokość \(h=|CG|\).

\[\tan 60^\circ=\frac{h}{|CD|}\;\Longrightarrow\;h=12\sqrt{3}\]

4 Objętość i pole boczne

Objętość to pole podstawy razy wysokość, a pole boczne graniastosłupa prostego to obwód podstawy razy wysokość.

\[V=(9\cdot12)\cdot12\sqrt{3}=1296\sqrt{3},\qquad P_b=2(9+12)\cdot12\sqrt{3}=504\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Objętość wynosi \(1296\sqrt{3}\) jednostek sześciennych, a pole powierzchni bocznej \(504\sqrt{3}\) jednostek kwadratowych.

\[V=1296\sqrt{3},\qquad P_b=504\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Otrzymane boki spełniają warunki: ich różnica wynosi 3, przekątna ma długość 15, a iloraz wysokości i boku \(CD\) jest równy tangensowi kąta \(60^\circ\).

\[12-9=3,\qquad \sqrt{9^2+12^2}=15,\qquad \frac{12\sqrt{3}}{12}=\sqrt{3}=\tan 60^\circ\]