Zamknięte1 pkt
Nie istnieje kąt ostry \(\alpha\) taki, że
A
\(\sin\alpha=\frac{1}{3}\) i \(\cos\alpha=\frac{2}{3}\)
B
\(\sin\alpha=\frac{5}{13}\) i \(\cos\alpha=\frac{12}{13}\)
C
\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\) i \(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)
D
\(\sin\alpha=\frac{9}{15}\) i \(\cos\alpha=\frac{12}{15}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zastosowanie tożsamości
Dla każdego kąta zachodzi tożsamość \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), więc sprawdzamy ją dla podanych par.
\[\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\]
2 Sprawdzenie odpowiedzi
W odpowiedzi A suma kwadratów jest różna od \(1\). Pozostałe pary spełniają tożsamość.
\[\begin{aligned}\text{A: }&\frac{1^2+2^2}{3^2}=\frac59\ne1,\\\text{B: }&\frac{5^2+12^2}{13^2}=1,\\\text{C: }&\frac{3^2+4^2}{5^2}=1,\\\text{D: }&\frac{9^2+12^2}{15^2}=1.\end{aligned}\]
Odpowiedź
A — nie istnieje taki kąt ostry.
\[\boxed{\text{A}}\]
Sprawdzenie
W A wartości sinus i cosinus naruszają tożsamość obowiązującą dla każdego kąta. W B, C i D obie wartości są dodatnie, mniejsze od 1 i spełniają tożsamość, więc mogą odpowiadać kątom ostrym.
\[\frac59\ne1,\qquad \frac{169}{169}=\frac{25}{25}=\frac{225}{225}=1\]