Zamknięte1 pkt
Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a przeciwprostokątna \(AB\) ma długość \(3\sqrt{5}\). Wtedy tangens kąta ostrego \(CAB\) tego trójkąta jest równy
A
\(\frac{\sqrt{5}}{5}\)
B
\(\frac{2\sqrt{5}}{5}\)
C
\(\frac{1}{2}\)
D
\(2\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie drugiej przyprostokątnej
Ponieważ AB jest przeciwprostokątną, z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość BC.
\[BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{(3\sqrt{5})^2-6^2}=\sqrt{45-36}=3\]
2 Obliczenie tangensa
Dla kąta CAB przyprostokątną naprzeciwległą jest BC, a przyległą AC.
\[\operatorname{tg}\angle CAB=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\]
Odpowiedź
Tangens kąta CAB wynosi 1/2. Odpowiedź C.
\[\operatorname{tg}\angle CAB=\frac{1}{2}\]
Sprawdzenie
Obliczone długości spełniają twierdzenie Pitagorasa: 3² + 6² = 45 = (3√5)².
\[3^2+6^2=45=(3\sqrt{5})^2\]