Zamknięte1 pkt
Wierzchołki \(A\), \(B\), \(C\) czworokąta \(ABSC\) leżą na okręgu o środku \(S\). Kąt \(ABS\) ma miarę \(40^\circ\) (zobacz rysunek), a przekątna \(BC\) jest dwusieczną tego kąta.
Miara kąta \(ASC\) jest równa
A
\(30^\circ\)
B
\(40^\circ\)
C
\(50^\circ\)
D
\(60^\circ\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Kąt przy wierzchołku B
Przekątna BC jest dwusieczną kąta ABS, więc dzieli kąt 40° na dwie równe części.
\[\angle ABC=\frac{40^\circ}{2}=20^\circ\]
2 Kąt środkowy
Kąt wpisany ABC i kąt środkowy ASC są oparte na tym samym łuku AC, dlatego kąt środkowy jest dwa razy większy.
\[\angle ASC=2\angle ABC=2\cdot20^\circ=40^\circ\]
Odpowiedź
Miara kąta ASC wynosi 40°, czyli odpowiedź B.
\[\angle ASC=40^\circ\]
Sprawdzenie
Ponieważ SA=SB, trójkąt ABS jest równoramienny, zatem kąt ASB ma 100°. Z rysunku wynika wtedy, że kąt BSC ma 140°. W trójkącie równoramiennym BSC kąt CBS ma 20°, zgodnie z tym, że BC dzieli kąt ABS na połowy.
\[\angle ASB=180^\circ-2\cdot40^\circ=100^\circ,\quad \angle BSC=100^\circ+40^\circ=140^\circ,\quad \angle CBS=\frac{180^\circ-140^\circ}{2}=20^\circ\]