Matematyka — matura 2022

Liczba \(\left(2\sqrt{8}-3\sqrt{2}\right)^2\) jest równa

Dodatnie liczby \(x\) i \(y\) spełniają warunek \(2x=3y\). Wynika stąd, że wartość wyrażenia \(\frac{x^2+y^2}{x\cdot y}\) jest równa

Liczba \(4\log_4 2+2\log_4 8\) jest równa

Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o \(10\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa \(78\ 732\) zł. Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do \(1\) zł, równa

Liczba \(3^{2+\frac{1}{4}}\) jest równa

Rozwiązaniem układu równań \(\begin{cases}11x-11y=1\\22x+22y=-1\end{cases}\) jest para liczb: \(x=x_0\), \(y=y_0\). Wtedy

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{2}{5}-\frac{x}{3}>\frac{x}{5}\) jest przedział

Iloczyn wszystkich rozwiązań równania \(2x(x^2-9)(x+1)=0\) jest równy

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \(f\).

Iloczyn \(f(-3)\cdot f(0)\cdot f(4)\) jest równy

Na rysunku 1. przedstawiono wykres funkcji \(f\) określonej na zbiorze \(\langle -4,5\rangle\).

Funkcję \(g\) określono za pomocą funkcji \(f\). Wykres funkcji \(g\) przedstawiono na rysunku 2.

Wynika stąd, że

Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=-\frac{1}{3}(x+3)+5\) jest liczba

Wykresem funkcji kwadratowej \(f(x)=3x^2+bx+c\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(-3,2)\). Wzór tej funkcji w postaci kanonicznej to

Ciąg \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n=\frac{2n^2-30n}{n}\) dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\). Wtedy \(a_7\) jest równy

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_5=-31\) oraz \(a_{10}=-66\). Różnica tego ciągu jest równa

Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), są dodatnie i \(9a_5=4a_3\). Wtedy iloraz tego ciągu jest równy

Liczba \(\cos 12^\circ\cdot\sin 78^\circ+\sin 12^\circ\cdot\cos 78^\circ\) jest równa

Punkty \(A, B, C\) leżą na okręgu o środku \(S\). Punkt \(D\) jest punktem przecięcia cięciwy \(AC\) i średnicy okręgu poprowadzonej z punktu \(B\). Miara kąta \(BSC\) jest równa \(\alpha\), a miara kąta \(ADB\) jest równa \(\gamma\) (zobacz rysunek).

Wtedy kąt \(ABD\) ma miarę

Punkty \(A, B, P\) leżą na okręgu o środku \(S\) i promieniu \(6\). Czworokąt \(ASBP\) jest rombem, w którym kąt ostry \(PAS\) ma miarę \(60^\circ\) (zobacz rysunek).

Pole zakreskowanej na rysunku figury jest równe

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \(6\sqrt{3}\). Pole tego trójkąta jest równe

Boki równoległoboku mają długości \(6\) i \(10\), a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę \(120^\circ\). Pole tego równoległoboku jest równe

Punkty \(A=(-2,6)\) oraz \(B=(3,b)\) leżą na prostej, która przechodzi przez początek układu współrzędnych. Wtedy \(b\) jest równe

Dane są cztery proste \(k, l, m, n\) o równaniach:

Wśród tych prostych prostopadłe są

Punkty \(K=(4,-10)\) i \(L=(b,2)\) są końcami odcinka \(KL\). Pierwsza współrzędna środka odcinka \(KL\) jest równa \((-12)\). Wynika stąd, że

Punkty \(A=(-4,4)\) i \(B=(4,0)\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Przekątna tego kwadratu ma długość

Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości \(7\) cm i \(10\) cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o \(2\) cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa

Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\). Punkty \(E, F, G, B\) są wierzchołkami ostrosłupa \(EFGB\) (zobacz rysunek).

Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa \(EFGB\) jest równe

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez \(5\) jest

Średnia arytmetyczna zestawu sześciu liczb: \(2x, 4, 6, 8, 11, 13\), jest równa \(5\). Wynika stąd, że

Rozwiąż nierówność:

\(3x^2-2x-9\geq 7\)

W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_1=-1\) i \(a_4=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\ne a\), spełniona jest nierówność

\[\frac{a^2+b^2}{2}>\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\]

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\operatorname{tg}\alpha=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin^2\alpha\).

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina bok \(BC\) w takim punkcie \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta \(BAC\).

Ze zbioru dziewięcioelementowego \(M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru \(M\), których iloczyn jest równy \(24\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

Wykres funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma z prostą o równaniu \(y=6\) dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty \(A=(-5,0)\) i \(B=(3,0)\) należą do wykresu funkcji \(f\). Oblicz wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).