Otwarte2 pkt
Ciągi
65%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), \(a_1=-1\) i \(a_4=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie różnicy ciągu
W ciągu arytmetycznym czwarty wyraz jest o trzy różnice większy od pierwszego.
\[a_4=a_1+3r,\quad 8=-1+3r,\quad r=3\]
2 Obliczenie setnego wyrazu
Korzystamy ze wzoru na wyraz ciągu arytmetycznego.
\[a_{100}=a_1+99r=-1+99\cdot3=296\]
3 Obliczenie sumy
Suma stu wyrazów jest równa połowie ich liczby pomnożonej przez sumę pierwszego i ostatniego wyrazu.
\[S_{100}=\frac{100(a_1+a_{100})}{2}=50(-1+296)=14750\]
Odpowiedź
Suma stu początkowych wyrazów wynosi 14750.
\[S_{100}=14750\]
Sprawdzenie
Wyznaczona różnica daje wymagany czwarty wyraz. Ponadto każda z 50 par wyrazów od początku i końca ciągu ma sumę 295, więc wynik sumowania się zgadza.
\[a_4=-1+3\cdot3=8,\quad 50\cdot(-1+296)=14750\]