Zadanie 29 — matura 2022, maj | Matematyka podstawowa, F-2015

Zadanie 29

Matura 2022 · maj · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

68%średni wynik CKE

Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗

Rozwiąż nierówność:

\(3x^2-2x-9\geq 7\)

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Aby porównać trójmian z zerem, odejmujemy 7 od obu stron nierówności.

\[3x^2-2x-9\geq 7\iff 3x^2-2x-16\geq 0\]

2 Wyznacz miejsca zerowe

Miejsca zerowe dzielą oś liczbową na przedziały, w których trójmian ma stały znak.

\[\Delta=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-16)=196,\qquad x_1=\frac{2-14}{6}=-2,\qquad x_2=\frac{2+14}{6}=\frac{8}{3}\]

3 Ustal znak trójmianu

Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc trójmian jest nieujemny poza przedziałem między miejscami zerowymi. Miejsca zerowe należą do rozwiązania, bo nierówność dopuszcza równość.

\[3x^2-2x-16=(x+2)(3x-8)\geq0\iff x\leq-2\ \text{lub}\ x\geq\frac83\]

Odpowiedź

Rozwiązaniem jest suma przedziałów od minus nieskończoności do −2 oraz od 8/3 do plus nieskończoności, z oboma końcami skończonymi włącznie.

\[x\in(-\infty,-2]\cup\left[\frac83,\infty\right)\]

Sprawdzenie

Dla x = −2 i x = 8/3 lewa strona nierówności wyjściowej wynosi 7. Między tymi wartościami, na przykład dla x = 0, wynosi −9 < 7. Iloczyn (x + 2)(3x − 8) jest dodatni poza tym przedziałem, więc podane przedziały są dokładnie zbiorem rozwiązań.

\[3(-2)^2-2(-2)-9=7,\qquad 3\left(\frac83\right)^2-2\cdot\frac83-9=7,\qquad 3\cdot0^2-2\cdot0-9=-9<7\]