Otwarte2 pkt
Wyrażenia algebraiczne
23%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\ne a\), spełniona jest nierówność
\[\frac{a^2+b^2}{2}>\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\]
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Obliczenie różnicy stron
Sprowadzamy strony nierówności do wspólnego mianownika, aby ustalić znak ich różnicy.
\[\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{2a^2+2b^2-(a+b)^2}{4}=\frac{(a-b)^2}{4}\]
2 Ustalenie znaku
Z założenia \(b\ne a\), więc kwadrat ich różnicy jest dodatni.
\[a-b\ne 0\quad\Longrightarrow\quad\frac{(a-b)^2}{4}>0\]
Odpowiedź
Dla każdych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\), dla których \(b\ne a\), podana nierówność jest prawdziwa.
\[\frac{a^2+b^2}{2}>\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\]
Sprawdzenie
Po pomnożeniu nierówności przez dodatnią liczbę 4 otrzymujemy równoważny warunek \((a-b)^2>0\), który wynika z \(b\ne a\).
\[2(a^2+b^2)>(a+b)^2\quad\Longleftrightarrow\quad(a-b)^2>0\]