Otwarte2 pkt
Trygonometria
42%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\operatorname{tg}\alpha=2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin^2\alpha\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zastosowanie jedynki trygonometrycznej
Ponieważ kąt jest ostry, \(\cos\alpha\neq 0\). Korzystamy z definicji tangensa i równości \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\).
\[\sin^2\alpha=\operatorname{tg}^2\alpha\cos^2\alpha,\qquad (1+\operatorname{tg}^2\alpha)\cos^2\alpha=1\]
2 Obliczenie wartości
Podstawiamy \(\operatorname{tg}\alpha=2\) i wyznaczamy \(\sin^2\alpha\).
\[\cos^2\alpha=\frac{1}{1+2^2}=\frac15,\qquad \sin^2\alpha=2^2\cdot\frac15=\frac45\]
Odpowiedź
Wartość wyrażenia wynosi \(\frac45\).
\[\sin^2\alpha=\frac45\]
Sprawdzenie
Otrzymane wartości spełniają jedynkę trygonometryczną; dla kąta ostrego dodatnie sinus i cosinus dają też tangens równy 2.
\[\frac45+\frac15=1,\qquad \frac{\sqrt{4/5}}{\sqrt{1/5}}=2\]