Otwarte2 pkt
Planimetria
29%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina bok \(BC\) w takim punkcie \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta \(BAC\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Kąty przy podstawie
Ponieważ \(|AC|=|BC|\), kąty przy podstawie \(AB\) są równe. Oznaczamy ich miarę przez \(x\).
\[\angle BAC=\angle ABC=x\]
2 Kąty trójkąta ABD
Dwusieczna dzieli kąt przy \(A\) na połowy, a punkt \(D\) leży na boku \(BC\). Z sumy kątów trójkąta obliczamy kąt przy \(D\).
\[\angle BAD=\frac{x}{2},\quad \angle ABD=x,\quad \angle BDA=180^\circ-x-\frac{x}{2}\]
3 Podobieństwo
W podobieństwie \(ABC\sim BDA\) kąt przy \(B\) pierwszego trójkąta odpowiada kątowi przy \(D\) drugiego. Przyrównujemy ich miary.
\[x=180^\circ-\frac{3x}{2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{5x}{2}=180^\circ\quad\Longrightarrow\quad x=72^\circ\]
Odpowiedź
Kąt BAC ma miarę 72°.
\[\angle BAC=72^\circ\]
Sprawdzenie
Dla otrzymanej wartości kąty trójkąta ABC mają miary 72°, 72°, 36°, a trójkąta BDA odpowiednio 72°, 72°, 36°. Zgadza się to z podaną kolejnością podobieństwa.
\[(\angle A,\angle B,\angle C)_{ABC}=(72^\circ,72^\circ,36^\circ),\quad(\angle B,\angle D,\angle A)_{BDA}=(72^\circ,72^\circ,36^\circ)\]