Otwarte5 pkt
Funkcje
28%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Wykres funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma z prostą o równaniu \(y=6\) dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty \(A=(-5,0)\) i \(B=(3,0)\) należą do wykresu funkcji \(f\). Oblicz wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Zapisz funkcję przez jej miejsca zerowe
Punkty A i B leżą na osi x, więc −5 i 3 są miejscami zerowymi funkcji.
\[f(x)=a(x+5)(x-3),\quad a\ne 0\]
2 Wyznacz wierzchołek i współczynnik a
Prosta y=6 ma z parabolą dokładnie jeden punkt wspólny, więc przechodzi przez jej wierzchołek. Jego pierwsza współrzędna jest średnią miejsc zerowych.
\[x_w=\frac{-5+3}{2}=-1,\qquad f(-1)=a\cdot4\cdot(-4)=-16a=6,\qquad a=-\frac{3}{8}\]
3 Oblicz b i c
Rozwijamy postać iloczynową i porównujemy współczynniki.
\[f(x)=-\frac{3}{8}(x^2+2x-15)=-\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{45}{8}\]
Odpowiedź
a = −3/8, b = −3/4, c = 45/8.
\[a=-\frac{3}{8},\quad b=-\frac{3}{4},\quad c=\frac{45}{8}\]
Sprawdzenie
Dla x = −5 i x = 3 funkcja ma wartość 0. Równanie f(x)=6 ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = −1.
\[f(-5)=f(3)=0,\qquad f(x)-6=-\frac{3}{8}(x+1)^2=0\iff x=-1\]