Zamknięte1 pkt
Ciągi
43%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\), są dodatnie i \(9a_5=4a_3\). Wtedy iloraz tego ciągu jest równy
A
\(\frac{2}{3}\)
B
\(\frac{3}{2}\)
C
\(\frac{2}{9}\)
D
\(\frac{9}{2}\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Wyznaczenie kwadratu ilorazu
W ciągu geometrycznym \(a_5=a_3q^2\). Ponieważ \(a_3>0\), możemy podzielić równanie przez \(a_3\).
\[9a_3q^2=4a_3\quad\Longrightarrow\quad q^2=\frac{4}{9}\]
2 Wybór ilorazu
Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc iloraz dwóch kolejnych wyrazów jest dodatni. Wybieramy dodatni pierwiastek.
\[q=\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{2}{3}\]
Odpowiedź
Iloraz ciągu wynosi \(\frac{2}{3}\). Odpowiedź A.
\[q=\frac{2}{3}\]
Sprawdzenie
Dla \(q=\frac{2}{3}\) zachodzi \(a_5=\frac{4}{9}a_3\), więc podany warunek jest spełniony. Iloraz jest dodatni.
\[9a_5=9\cdot\frac{4}{9}a_3=4a_3\]