Zamknięte1 pkt
Stereometria
44%średni wynik CKE
Średni procent zdobytych punktów. Wyższy wynik oznacza, że zadanie było łatwiejsze dla zdających. Raport CKE ↗
Dany jest sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi długości \(a\). Punkty \(E, F, G, B\) są wierzchołkami ostrosłupa \(EFGB\) (zobacz rysunek).
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa \(EFGB\) jest równe
A
\(a^2\)
B
\(\frac{3\sqrt{3}}{2}\cdot a^2\)
C
\(\frac{3}{2}a^2\)
D
\(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\cdot a^2\)
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
1 Trzy ściany prostokątne
Trójkąty EFG, EFB i FGB są prostokątne. W każdym przyprostokątne są krawędziami sześcianu długości a, więc każdy ma pole \(\frac{a^2}{2}\).
\[P_{EFG}+P_{EFB}+P_{FGB}=3\cdot\frac{a\cdot a}{2}=\frac{3a^2}{2}\]
2 Czwarta ściana
Odcinki EG, EB i BG są przekątnymi ścian sześcianu. Trójkąt EGB jest zatem równoboczny o boku \(a\sqrt{2}\).
\[P_{EGB}=\frac{\sqrt{3}}{4}(a\sqrt{2})^2=\frac{\sqrt{3}}{2}a^2\]
3 Pole całkowite
Dodajemy pola czterech trójkątnych ścian ostrosłupa.
\[P_c=\frac{3a^2}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}a^2=\frac{3+\sqrt{3}}{2}a^2\]
Odpowiedź
Odpowiedź D.
\[P_c=\frac{3+\sqrt{3}}{2}a^2\]
Sprawdzenie
Dla a > 0 każda z trzech ścian prostokątnych ma pole \(\frac{a^2}{2}\), a ściana równoboczna ma pole \(\frac{\sqrt{3}a^2}{2}\). Ich suma ma jednostkę pola i zgadza się z odpowiedzią D.
\[3\cdot\frac{a^2}{2}+\frac{\sqrt{3}a^2}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}a^2\]