Arkusz maturalny

Matematyka — matura 2022

Poziom podstawowyCzerwiecFormuła 2015

Zobacz zadania i rozwiązania 35 zadań z arkusza

ArkuszPobierz PDF KluczPobierz PDF

Zadania z arkusza — rozwiązania krok po kroku

35 zadań · Rozwiń rozwiązanie pod wybranym zadaniem.

Zadanie 1

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba $\sqrt{128}:\sqrt[3]{64}$ jest równa

$\frac{1}{2}\sqrt{2}$

$2$

$\sqrt{2}$

$2\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Uproszczenie pierwiastków

Wyłączamy spod pierwiastka kwadratowego czynnik będący kwadratem liczby całkowitej i obliczamy pierwiastek sześcienny.

\[\sqrt{128}=\sqrt{64\cdot2}=8\sqrt2,\qquad \sqrt[3]{64}=4\]

2 Obliczenie ilorazu

Dzielimy uproszczone wartości pierwiastków.

\[\sqrt{128}:\sqrt[3]{64}=\frac{8\sqrt2}{4}=2\sqrt2\]

Odpowiedź

Odpowiedź D.

\[2\sqrt2\]

Sprawdzenie

Mianownik jest różny od zera. Mnożąc wynik przez 4, otrzymujemy pierwotny licznik.

\[4\cdot2\sqrt2=8\sqrt2=\sqrt{128}\]

Zadanie 2

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba $\frac{2^{-3}\cdot 3^{-3}\cdot 4^{0}}{2^{-1}\cdot 3^{-4}\cdot 4^{-1}}$ jest równa

$1$

$3$

$24$

$48$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie praw działań na potęgach

Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie odejmujemy wykładniki, a potęga o wykładniku zero jest równa 1.

\[\frac{2^{-3}\cdot 3^{-3}\cdot 4^{0}}{2^{-1}\cdot 3^{-4}\cdot 4^{-1}}=2^{-3-(-1)}\cdot 3^{-3-(-4)}\cdot 4^{0-(-1)}=2^{-2}\cdot 3\cdot 4\]

2 Obliczenie wartości

Ponieważ $2^{-2}=\frac14$, iloczyn jest równy 3.

\[2^{-2}\cdot 3\cdot 4=\frac14\cdot 3\cdot 4=3\]

Odpowiedź

3, odpowiedź B.

\[3\]

Sprawdzenie

Bezpośrednie podstawienie wartości potęg daje ten sam wynik; wszystkie podstawy w mianowniku są różne od zera.

\[\frac{\frac18\cdot\frac1{27}\cdot1}{\frac12\cdot\frac1{81}\cdot\frac14}=\frac{1/216}{1/648}=3\]

Zadanie 3

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Liczby rzeczywiste

Liczba dwukrotnie większa od $\log 3+\log 2$ jest równa

$\log 12$

$\log 36$

$\log 10$

$\log 25$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Połącz logarytmy

Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów jego czynników.

\[\log 3+\log 2=\log(3\cdot 2)=\log 6\]

2 Zastosuj wzór na logarytm potęgi

Dwukrotność logarytmu liczby to logarytm jej kwadratu.

\[2\log 6=\log(6^2)=\log 36\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: logarytm liczby 36.

\[\log 36\]

Sprawdzenie

Ponieważ 36 = (3·2)², własności logarytmów dają z powrotem dwukrotność podanej sumy.

\[\log 36=\log((3\cdot 2)^2)=2(\log 3+\log 2)\]

Zadanie 4

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

30% liczby $x$ jest o 2730 mniejsze od liczby $x$. Liczba $x$ jest równa

$3900$

$1911$

$9100$

$2100$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ułóż równanie

30% liczby x to 0,3x. Jest ono o 2730 mniejsze od x, więc zapisujemy tę zależność jako równanie.

\[0{,}3x=x-2730\]

2 Oblicz x

Przenosimy wyrazy z x na jedną stronę i dzielimy przez 0,7.

\[2730=0{,}7x\quad\Rightarrow\quad x=\frac{2730}{0{,}7}=3900\]

Odpowiedź

Liczba x wynosi 3900. Odpowiedź A.

\[x=3900\]

Sprawdzenie

30% z 3900 to 1170, a różnica 3900 − 1170 wynosi 2730, zgodnie z treścią zadania.

\[0{,}3\cdot3900=1170,\qquad3900-1170=2730\]

Zadanie 5

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Wyrażenia algebraiczne

Dla każdej liczby rzeczywistej $a$ wyrażenie $5-(4+2a)(4-2a)$ jest równe

$-4a^{2}-16a-11$

$4a^{2}-11$

$-4a^{2}-11$

$4a^{2}+16a-11$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

Czynniki różnią się znakiem przy $2a$, więc ich iloczyn jest różnicą kwadratów.

\[(4+2a)(4-2a)=4^2-(2a)^2=16-4a^2\]

2 Uproszczenie wyrażenia

Podstawiamy obliczony iloczyn, opuszczamy nawias i redukujemy liczby.

\[5-(16-4a^2)=5-16+4a^2=4a^2-11\]

Odpowiedź

Wyrażenie jest równe $4a^2-11$. Odpowiedź B.

\[4a^2-11\]

Sprawdzenie

Dla $a=1$ wyrażenie z zadania i otrzymany wynik mają wartość $-7$. Przekształcenia są prawdziwe dla każdej liczby rzeczywistej $a$.

\[5-(4+2)(4-2)=-7=4\cdot1^2-11\]

Zadanie 6

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Jedną z liczb spełniających nierówność $x^{4}-3x^{3}+3<0$ jest

$1$

$(-1)$

$2$

$(-2)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie odpowiedzi

Sprawdzamy podane liczby w lewej stronie nierówności. Dla liczby 2 otrzymujemy wartość ujemną.

\[2^4-3\cdot 2^3+3=16-24+3=-5<0\]

Odpowiedź

C. Liczba 2.

\[x=2\]

Sprawdzenie

Pozostałe odpowiedzi nie spełniają nierówności, bo dają wartości dodatnie.

\[1^4-3\cdot1^3+3=1,\quad (-1)^4-3(-1)^3+3=7,\quad (-2)^4-3(-2)^3+3=43\]

Zadanie 7

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Informacja do zadań 7. i 8. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=2x^{2}+5x$.

Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu

$Fragment wykresu funkcji kwadratowej $y=f(x)$ w układzie współrzędnych.$

$x=-\frac{5}{4}$

$x=\frac{5}{4}$

$y=-\frac{5}{4}$

$y=-\frac{25}{16}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie osi symetrii

Dla funkcji kwadratowej oś symetrii przechodzi przez wierzchołek i ma równanie $x=-\frac{b}{2a}$. Tutaj $a=2$ i $b=5$.

\[x=-\frac{b}{2a}=-\frac{5}{2\cdot 2}=-\frac{5}{4}\]

Odpowiedź

Osią symetrii jest prosta $x=-\frac{5}{4}$. Odpowiedź A.

\[x=-\frac{5}{4}\]

Sprawdzenie

Miejsca zerowe to $0$ i $-\frac{5}{2}$. Oś symetrii leży dokładnie w połowie między nimi.

\[\frac{0+\left(-\frac{5}{2}\right)}{2}=-\frac{5}{4}\]

Zadanie 8

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f(x)=2x^{2}+5x$.

Funkcja kwadratowa $g$ jest określona wzorem $g(x)=2x^{2}-5x$. Wykres funkcji $g$ jest

Fragment wykresu funkcji kwadratowej f w układzie współrzędnych.

symetryczny do wykresu funkcji $f$ względem osi $Ox$.

symetryczny do wykresu funkcji $f$ względem osi $Oy$.

symetryczny do wykresu funkcji $f$ względem początku układu współrzędnych.

przesunięty względem wykresu funkcji $f$ o $10$ jednostek w kierunku przeciwnym do zwrotu osi $Ox$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie przeciwnej liczby

Aby sprawdzić symetrię względem osi $Oy$, obliczamy wartość $f$ dla argumentu $-x$.

\[f(-x)=2(-x)^2+5(-x)=2x^2-5x=g(x)\]

2 Rozpoznanie przekształcenia

Równość $g(x)=f(-x)$ oznacza, że punktowi $(x,f(x))$ odpowiada punkt $(-x,f(x))$, czyli jego odbicie względem osi $Oy$.

\[g(x)=f(-x)\]

Odpowiedź

B. Wykres funkcji g jest symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Oy.

\[\boxed{\mathrm{B}}\]

Sprawdzenie

Miejsce zerowe funkcji f równe −5/2 po odbiciu względem osi Oy przechodzi w 5/2, które jest miejscem zerowym funkcji g.

\[f\!\left(-\frac52\right)=0,\qquad g\!\left(\frac52\right)=2\cdot\frac{25}{4}-5\cdot\frac52=0\]

Zadanie 9

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Równania i nierówności

Równanie $(x^{2}-27)(x^{2}+16)=0$ ma dokładnie

jedno rozwiązanie rzeczywiste.

dwa rozwiązania rzeczywiste.

trzy rozwiązania rzeczywiste.

cztery rozwiązania rzeczywiste.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Rozdzielenie iloczynu

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z jego czynników jest równy zeru.

\[x^{2}-27=0\quad\text{lub}\quad x^{2}+16=0\]

2 Wyznaczenie rozwiązań rzeczywistych

Pierwsze równanie ma dwa rozwiązania, a drugie nie ma rozwiązań rzeczywistych, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej nie jest ujemny.

\[x^{2}=27\Rightarrow x=\pm3\sqrt{3};\qquad x^{2}=-16\;\text{— brak rozwiązań rzeczywistych}\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste. Odpowiedź B.

\[x\in\{-3\sqrt{3},\,3\sqrt{3}\}\]

Sprawdzenie

Dla obu podanych liczb kwadrat wynosi 27, więc pierwszy czynnik jest zerem. Drugi czynnik jest dodatni dla każdego rzeczywistego x i nie daje dalszych rozwiązań.

\[(\pm3\sqrt{3})^{2}-27=0,\qquad x^{2}+16\geq16>0\]

Zadanie 10

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja $f$ jest określona wzorem $f(x)=\frac{4}{x}-4$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\neq 0$. Liczba $f(2)-f(-2)$ jest równa

$-8$

$-4$

$4$

$0$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie wartości funkcji

Liczby 2 i −2 należą do dziedziny, więc podstawiamy je do wzoru funkcji.

\[f(2)=\frac{4}{2}-4=-2,\qquad f(-2)=\frac{4}{-2}-4=-6\]

2 Obliczenie różnicy

Odejmujemy otrzymane wartości, pamiętając o znaku liczby ujemnej.

\[f(2)-f(-2)=-2-(-6)=4\]

Odpowiedź

Wynik to 4, odpowiedź C.

\[f(2)-f(-2)=4\]

Sprawdzenie

Kontrola: składniki −4 we wzorze funkcji znoszą się przy odejmowaniu, a 2 i −2 spełniają warunek dziedziny.

\[\left(\frac{4}{2}-4\right)-\left(\frac{4}{-2}-4\right)=2-(-2)=4\]

Zadanie 11

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Punkt $M=(3,-2)$ należy do wykresu funkcji liniowej $f$ określonej wzorem $f(x)=5x+b-4$. Wynika stąd, że $b$ jest równe

$-17$

$-13$

$13$

$17$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie współrzędnych punktu

Punkt należy do wykresu, więc dla $x=3$ wartość funkcji wynosi $-2$.

\[-2=5\cdot 3+b-4=11+b\]

2 Obliczenie parametru

Odejmujemy 11 od obu stron równania.

\[b=-2-11=-13\]

Odpowiedź

Odpowiedź B: $b=-13$.

\[b=-13\]

Sprawdzenie

Dla $b=-13$ otrzymujemy $f(3)=-2$, więc punkt $M$ należy do wykresu.

\[f(3)=5\cdot3-13-4=-2\]

Zadanie 12

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa $f$ określona wzorem $f(x)=-2(x-1)^{2}+3$ jest rosnąca w przedziale

$( -\infty,1\rangle$

$\langle-2,+\infty)$

$( -\infty,3\rangle$

$\langle1,+\infty)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie wierzchołka

Wzór jest w postaci kanonicznej, więc wierzchołek ma pierwszą współrzędną równą 1. Ujemny współczynnik przy kwadracie oznacza, że funkcja rośnie do wierzchołka.

\[f(x)=-2(x-1)^2+3,\qquad x_w=1\]

2 Wyznaczenie przedziału

Dla liczb $x_1<x_2\leq 1$ różnica wartości funkcji jest dodatnia, co potwierdza wzrost na całym przedziale.

\[f(x_2)-f(x_1)=-2(x_2-x_1)(x_1+x_2-2)>0\]

Odpowiedź

Funkcja jest rosnąca w przedziale $( -\infty,1\rangle$. Odpowiedź A.

\[(-\infty,1\rangle\]

Sprawdzenie

Dla $1\leq x_1<x_2$ oba czynniki $x_2-x_1$ i $x_1+x_2-2$ są dodatnie, więc $f(x_2)-f(x_1)<0$. Funkcja na prawo od 1 maleje, zatem wskazany przedział kończy się we właściwym miejscu.

\[1\leq x_1<x_2\implies -2(x_2-x_1)(x_1+x_2-2)<0\]

Zadanie 13

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Funkcje

Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu funkcji $y=f(x)$.

W przedziale $(-4,6)$ równanie $f(x)=-1$

$Fragment wykresu funkcji $y=f(x)$ w układzie współrzędnych.$

nie ma rozwiązań.

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

ma dokładnie dwa rozwiązania.

ma dokładnie trzy rozwiązania.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Lewa część wykresu

Od wierzchołka przy x=-4 do punktu przy x=-3 wykres rośnie od wartości -2 do 4, więc przecina prostą y=-1 dokładnie raz w przedziale (-4,-3).

\[-2<-1<4\]

2 Prawa część wykresu

Prosta przechodzi przez punkty (0,2) i (3,0). Wyznaczamy jej równanie i rozwiązujemy je dla wartości -1.

\[f(x)=2-\frac{2}{3}x,\qquad 2-\frac{2}{3}x=-1\iff x=\frac{9}{2}\in(-3,6)\]

Odpowiedź

Równanie ma dokładnie dwa rozwiązania. Odpowiedź C.

\[\boxed{\text{C — dokładnie dwa rozwiązania}}\]

Sprawdzenie

W przedziale (-4,-3) jest jedno przecięcie, a na odcinku prostym drugie: dla x=9/2 wartość funkcji wynosi -1. Oba argumenty należą do przedziału (-4,6).

\[2-\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{2}=-1\]

Zadanie 14

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg $(a_n)$ jest określony wzorem $a_n=\frac{n-2}{2n^2}$ dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$. Piąty wyraz tego ciągu jest równy

$\left(-\frac{1}{10}\right)$

$\frac{3}{50}$

$\frac{3}{100}$

$\left(-\frac{1}{5}\right)$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podstawienie numeru wyrazu

Piąty wyraz obliczamy, podstawiając $n=5$ do wzoru ciągu.

\[a_5=\frac{5-2}{2\cdot 5^2}=\frac{3}{50}\]

Odpowiedź

Piąty wyraz wynosi $\frac{3}{50}$. Odpowiedź B.

\[a_5=\frac{3}{50}\]

Sprawdzenie

Dla $n=5$ licznik wynosi $3$, a mianownik $2\cdot25=50$. Otrzymany ułamek jest dodatni i odpowiada odpowiedzi B.

\[\frac{5-2}{2\cdot25}=\frac{3}{50}\]

Zadanie 15

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Ciągi

Ciąg $(a_n)$, określony dla każdej liczby naturalnej $n\geq 1$, jest arytmetyczny. Różnica tego ciągu jest równa $2$ oraz $a_8=48$. Czwarty wyraz tego ciągu jest równy

$2$

$24$

$3$

$40$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie czwartego wyrazu

Od czwartego do ósmego wyrazu są cztery kroki ciągu arytmetycznego, więc od ósmego wyrazu odejmujemy czterokrotność różnicy.

\[a_4=a_8-4r=48-4\cdot 2=40\]

Odpowiedź

Czwarty wyraz jest równy 40. Odpowiedź D.

\[a_4=40\]

Sprawdzenie

Dodanie czterech różnic do czwartego wyrazu daje podany ósmy wyraz.

\[40+4\cdot 2=48=a_8\]

Zadanie 16

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Trygonometria

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\frac{2}{3}$. Wtedy $\cos^2(90^\circ-\alpha)$ jest równy

$\frac{1}{9}$

$\frac{2}{9}$

$\frac{4}{9}$

$\frac{5}{9}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie wzoru na kąt dopełniający

Cosinus kąta dopełniającego jest równy sinusowi danego kąta, więc korzystamy z podanej wartości sinusa.

\[\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha=\frac{2}{3}\]

2 Podniesienie do kwadratu

Obliczamy wartość wyrażenia z treści zadania.

\[\cos^2(90^\circ-\alpha)=\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}\]

Odpowiedź

Wynik to 4/9, odpowiedź C.

\[\frac{4}{9}\]

Sprawdzenie

Z jedynki trygonometrycznej wynika, że cos²α = 5/9. Dla kąta dopełniającego cos²(90°−α) = 1−cos²α = 4/9, zgodnie z wynikiem.

\[\cos^2\alpha=1-\left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{5}{9},\qquad \cos^2(90^\circ-\alpha)=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}\]

Zadanie 17

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na trójkącie ostrokątnym $ABC$ opisano okrąg o środku $O$. Miara kąta $ABC$ jest równa $65^\circ$. Miara kąta $ACO$ jest równa

$130^\circ$

$25^\circ$

$65^\circ$

$50^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie kąta środkowego

Kąt środkowy AOC i kąt wpisany ABC są oparte na tym samym łuku AC, więc kąt środkowy ma dwa razy większą miarę.

\[\angle AOC=2\angle ABC=2\cdot65^\circ=130^\circ\]

2 Wyznaczenie kąta ACO

Odcinki OA i OC są promieniami okręgu, więc trójkąt AOC jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie są równe.

\[\angle ACO=\frac{180^\circ-130^\circ}{2}=25^\circ\]

Odpowiedź

B. Miara kąta ACO wynosi 25°.

\[\angle ACO=25^\circ\]

Sprawdzenie

Kąty trójkąta AOC mają miary 25°, 130° i 25°; ich suma wynosi 180°, a kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta ABC.

\[25^\circ+130^\circ+25^\circ=180^\circ,\qquad130^\circ=2\cdot65^\circ\]

Zadanie 18

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Trójkąt $ABC$ jest prostokątny. Odcinek $AD$ jest wysokością tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka $A$ na przeciwprostokątną $BC$. Wtedy

$\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}$

$\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AD|}$

$\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|AC|}{|AB|}$

$\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|BC|}{|BD|}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podobieństwo trójkątów

Trójkąty ABD i ACD są podobne, ponieważ oba są prostokątne, a ich pozostałe kąty odpowiadają sobie.

\[\triangle ABD\sim\triangle CAD\]

2 Ułożenie proporcji

Odpowiadające sobie boki podobnych trójkątów mają równe ilorazy.

\[\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}\]

Odpowiedź

Odpowiedź A.

\[\frac{|AD|}{|AB|}=\frac{|CD|}{|AC|}\]

Sprawdzenie

W obu ilorazach porównano odpowiadające sobie boki. Ich długości są dodatnie, więc dzielenie jest dozwolone.

\[|AB|>0,\quad |AC|>0\]

Zadanie 19

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Pole rombu o obwodzie $20$ i kącie rozwartym $120^\circ$ jest równe

$\frac{25\sqrt{3}}{2}$

$\frac{5\sqrt{3}}{2}$

$\frac{25}{2}$

$\frac{25\sqrt{3}}{4}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie boku

Romb ma cztery równe boki, więc długość boku otrzymujemy, dzieląc obwód przez 4.

\[a=\frac{20}{4}=5\]

2 Obliczenie pola

Pole rombu jest iloczynem kwadratu boku i sinusa kąta między bokami. Korzystamy z równości $\sin 120^\circ=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

\[P=a^2\sin 120^\circ=5^2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{2}\]

Odpowiedź

Pole wynosi $\frac{25\sqrt{3}}{2}$. Odpowiedź A.

\[P=\frac{25\sqrt{3}}{2}\]

Sprawdzenie

Wysokość rombu wynosi $5\sin 120^\circ=\frac{5\sqrt{3}}{2}$. Iloczyn podstawy i wysokości daje otrzymane pole.

\[5\cdot\frac{5\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{2}\]

Zadanie 20

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

W trójkącie miary kątów są równe: $\alpha$, $4\alpha$, $\alpha+30^\circ$. Miara największego kąta tego trójkąta jest równa

$55^\circ$

$90^\circ$

$100^\circ$

$120^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie α

Suma kątów w trójkącie wynosi 180°, więc układamy równanie i wyznaczamy α.

\[\alpha+4\alpha+(\alpha+30^\circ)=180^\circ\;\Rightarrow\;6\alpha=150^\circ\;\Rightarrow\;\alpha=25^\circ\]

2 Porównanie kątów

Podstawiamy obliczoną wartość α, aby wskazać największy kąt.

\[\alpha=25^\circ,\qquad 4\alpha=100^\circ,\qquad \alpha+30^\circ=55^\circ\]

Odpowiedź

Największy kąt ma miarę 100°, czyli odpowiedź C.

\[100^\circ\]

Sprawdzenie

Otrzymane kąty są dodatnie, a ich suma wynosi 180°.

\[25^\circ+100^\circ+55^\circ=180^\circ\]

Zadanie 21

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Planimetria

Na boku $BC$ kwadratu $ABCD$ (na zewnątrz) zbudowano trójkąt równoboczny $BEC$ (zobacz rysunek).

Miara kąta $DEC$ jest równa

Kwadrat ABCD i zbudowany na boku BC trójkąt równoboczny BEC; zaznaczony kąt DEC.

$10^\circ$

$20^\circ$

$15^\circ$

$30^\circ$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Kąt przy wierzchołku C

Kąt kwadratu ma 90°, a kąt trójkąta równobocznego 60°. Ponieważ trójkąt BEC leży na zewnątrz kwadratu, kąty te składają się na kąt DCE.

\[\angle DCE=90^\circ+60^\circ=150^\circ\]

2 Kąty przy podstawie DE

Odcinki DC i CE mają długość boku kwadratu, więc trójkąt DCE jest równoramienny. Jego kąty przy podstawie są równe.

\[\angle DEC=\frac{180^\circ-150^\circ}{2}=15^\circ\]

Odpowiedź

Kąt DEC ma 15°, czyli odpowiedź C.

\[\angle DEC=15^\circ\]

Sprawdzenie

Suma kątów trójkąta DCE wynosi 180°.

\[150^\circ+15^\circ+15^\circ=180^\circ\]

Zadanie 22

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste o równaniach $y=-\frac{5}{4}x-2$ oraz $y=\frac{4}{2m-1}x+1$ są prostopadłe. Wynika stąd, że

$m=\frac{21}{10}$

$m=-\frac{11}{10}$

$m=-2$

$m=3$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zastosowanie warunku prostopadłości

Iloczyn współczynników kierunkowych prostych prostopadłych wynosi $-1$. Drugie równanie wymaga $2m-1\neq 0$.

\[-\frac{5}{4}\cdot\frac{4}{2m-1}=-1\]

2 Wyznaczenie parametru

Upraszczamy iloczyn i rozwiązujemy równanie.

\[-\frac{5}{2m-1}=-1\quad\Longrightarrow\quad 2m-1=5\quad\Longrightarrow\quad m=3\]

Odpowiedź

Odpowiedź D: $m=3$.

\[m=3\]

Sprawdzenie

Dla $m=3$ mianownik jest równy $5$, a iloczyn współczynników kierunkowych wynosi $-1$, więc proste są prostopadłe.

\[2\cdot3-1=5\neq0,\qquad -\frac54\cdot\frac45=-1\]

Zadanie 23

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Proste o równaniach $y=-3x+\frac{1}{3}$ oraz $y=\frac{1}{3}x-3$ przecinają się w punkcie $P=(x_0,y_0)$. Wynika stąd, że

$x_0>0$ i $y_0>0$.

$x_0>0$ i $y_0<0$.

$x_0<0$ i $y_0>0$.

$x_0<0$ i $y_0<0$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie współrzędnej x

W punkcie przecięcia obie proste mają tę samą współrzędną y, więc przyrównujemy prawe strony równań.

\[-3x_0+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}x_0-3\quad\Rightarrow\quad -\frac{10}{3}x_0=-\frac{10}{3}\quad\Rightarrow\quad x_0=1\]

2 Wyznaczenie współrzędnej y

Podstawiamy otrzymane x do równania pierwszej prostej.

\[y_0=-3\cdot 1+\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}\]

Odpowiedź

x₀ > 0 i y₀ < 0. Odpowiedź B.

\[P=\left(1,-\frac{8}{3}\right)\]

Sprawdzenie

Dla x = 1 druga prosta również daje y = −8/3, więc punkt leży na obu prostych. Współrzędne mają znaki podane w odpowiedzi B.

\[\frac{1}{3}\cdot 1-3=-\frac{8}{3}\]

Zadanie 24

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

Liczba wszystkich krawędzi graniastosłupa jest równa $42$. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest równa

$14$

$28$

$15$

$42$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba boków podstawy

Graniastosłup o podstawie n-kąta ma po n krawędzi w każdej podstawie oraz n krawędzi bocznych, czyli łącznie 3n krawędzi.

\[3n=42\quad\Rightarrow\quad n=14\]

2 Liczba wierzchołków

Każda z dwóch podstaw ma po 14 wierzchołków.

\[2n=2\cdot14=28\]

Odpowiedź

Graniastosłup ma 28 wierzchołków. Odpowiedź B.

\[28\]

Sprawdzenie

Dwie podstawy mają razem 28 krawędzi, a krawędzi bocznych jest 14. Ich suma wynosi 42, zgodnie z treścią zadania.

\[14+14+14=42\]

Zadanie 25

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Stereometria

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wszystkie krawędzie mają długość $8$. Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest równe

$64\sqrt{3}$

$64\sqrt{2}$

$16\sqrt{3}$

$16\sqrt{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Pole jednej ściany

Wszystkie krawędzie mają długość 8, więc każda ściana jest trójkątem równobocznym. Stosujemy wzór na jego pole.

\[P_1=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}=16\sqrt{3}\]

2 Pole całkowite

Ostrosłup trójkątny ma cztery takie ściany, dlatego dodajemy ich pola.

\[P_c=4\cdot16\sqrt{3}=64\sqrt{3}\]

Odpowiedź

Pole powierzchni całkowitej wynosi 64√3. Odpowiedź A.

\[P_c=64\sqrt{3}\]

Sprawdzenie

Podstawa ma pole 16√3, a trzy ściany boczne mają razem pole 48√3. Ich suma to 64√3, zgodnie z odpowiedzią A.

\[16\sqrt{3}+3\cdot16\sqrt{3}=64\sqrt{3}\]

Zadanie 26

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Kombinatoryka

Rozważamy wszystkie liczby naturalne czterocyfrowe, których suma cyfr jest równa $3$. Wszystkich takich liczb jest

$13$

$10$

$7$

$9$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Podział według cyfry tysięcy

Pierwsza cyfra musi być dodatnia i nie może przekraczać 3. Liczymy możliwości dla każdej z jej wartości.

\[a+b+c+d=3,\quad a\in\{1,2,3\}\]

2 Policzenie liczb

Gdy pierwsza cyfra to 1, pozostałe cyfry mają sumę 2: są to trzy ustawienia cyfr 2,0,0 oraz trzy ustawienia cyfr 1,1,0. Dla pierwszej cyfry 2 otrzymujemy trzy ustawienia cyfr 1,0,0, a dla cyfry 3 tylko 0,0,0.

\[(3+3)+3+1=10\]

Odpowiedź

Takich liczb jest 10. Odpowiedź B.

\[10\]

Sprawdzenie

Otrzymane liczby to 3000; 2100, 2010, 2001; 1200, 1020, 1002, 1110, 1101, 1011. Każda jest czterocyfrowa i ma sumę cyfr 3, a podział według pierwszej cyfry wyczerpuje wszystkie możliwości.

\[1+3+6=10\]

Zadanie 27

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pudełku są tylko kule białe, czarne i zielone. Kul białych jest dwa razy więcej niż czarnych, a czarnych jest trzy razy więcej niż zielonych. Z pudełka losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe

$\frac{2}{3}$

$\frac{2}{9}$

$\frac{1}{6}$

$\frac{3}{5}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Ustalenie liczby kul

Przyjmujemy, że kul zielonych jest $x$, gdzie $x>0$. Z podanych zależności obliczamy liczby pozostałych kul.

\[Z=x,\quad C=3x,\quad B=2\cdot 3x=6x\]

2 Obliczenie prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo to liczba kul białych podzielona przez liczbę wszystkich kul.

\[P(B)=\frac{6x}{x+3x+6x}=\frac{6x}{10x}=\frac{3}{5}\]

Odpowiedź

D. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi $\frac{3}{5}$.

\[P(B)=\frac{3}{5}\]

Sprawdzenie

Stosunek liczby kul białych, czarnych i zielonych wynosi $6:3:1$. Spośród 10 równych części 6 stanowią kule białe, więc $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.

\[\frac{6}{6+3+1}=\frac{3}{5}\]

Zadanie 28

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Zamknięte1 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

W pewnej grupie uczniów przeprowadzono ankietę na temat liczby odsłuchanych audiobooków w lutym 2022 roku. Wyniki ankiety przedstawiono w tabeli.

Liczba odsłuchanych audiobooków	0	1	2	3	4	7
Liczba uczniów	9	5	3	4	1	3

Mediana liczby odsłuchanych audiobooków w tej grupie uczniów jest równa

$3$

$2$

$1$

$\frac{3}{2}$

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Policz uczniów

Liczba wszystkich wyników wskazuje pozycję mediany w uporządkowanym szeregu.

\[9+5+3+4+1+3=25,\qquad \frac{25+1}{2}=13\]

2 Odczytaj środkowy wynik

Dziewięciu uczniów odsłuchało 0 audiobooków, a kolejnych pięciu — 1 audiobook. Trzynasty wynik to zatem 1.

\[9<13\leq 9+5=14\]

Odpowiedź

Mediana wynosi 1 audiobook. Odpowiedź C.

\[\operatorname{Me}=1\]

Sprawdzenie

W uporządkowanym szeregu 1 audiobook zajmuje miejsca od 10. do 14., więc środkowe, 13. miejsce rzeczywiście ma wartość 1.

\[10\leq 13\leq 14\]

Zadanie 29

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Równania i nierówności

Rozwiąż nierówność $-3x^{2}+8\geq 10x$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Przenieś wyrazy na jedną stronę

Po pomnożeniu nierówności przez −1 zmieniamy jej zwrot, aby współczynnik przy $x^2$ był dodatni.

\[-3x^2+8\geq 10x\iff 3x^2+10x-8\leq 0\]

2 Rozłóż trójmian na czynniki

Postać iloczynowa pozwala wyznaczyć miejsca zerowe i znak wyrażenia.

\[3x^2+10x-8=(3x-2)(x+4)\]

3 Wyznacz rozwiązanie

Iloczyn jest niedodatni między miejscami zerowymi, łącznie z nimi.

\[(3x-2)(x+4)\leq 0\iff -4\leq x\leq \frac{2}{3}\]

Odpowiedź

Zbiorem rozwiązań jest przedział domknięty od −4 do 2/3.

\[x\in\left[-4,\frac{2}{3}\right]\]

Sprawdzenie

Dla x=0, leżącego w otrzymanym przedziale, nierówność jest prawdziwa. Dla x=−5 i x=1, leżących poza nim, jest fałszywa. W obu końcach przedziału zachodzi równość.

\[x=0:\ 8\geq 0;\qquad x=-5:\ -67\not\geq -50;\qquad x=1:\ 5\not\geq 10\]

Zadanie 30

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ i każdej liczby rzeczywistej $y$ takich, że $x\ne y$ prawdziwa jest nierówność \[\left(\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}y\right)^2<\frac{x^2+4y^2}{5}\]

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie różnicy

Odejmujemy lewą stronę od prawej, aby ustalić znak ich różnicy.

\[\frac{x^2+4y^2}{5}-\left(\frac{x+4y}{5}\right)^2=\frac{5x^2+20y^2-(x^2+8xy+16y^2)}{25}=\frac{4(x-y)^2}{25}\]

2 Ustalenie znaku

Ponieważ $x\ne y$, kwadrat różnicy jest dodatni. Prawa strona nierówności jest więc większa od lewej.

\[x\ne y\implies (x-y)^2>0\implies \frac{4(x-y)^2}{25}>0\]

Odpowiedź

Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb rzeczywistych $x\ne y$.

\[\left(\frac{x+4y}{5}\right)^2<\frac{x^2+4y^2}{5}\]

Sprawdzenie

Równość mogłaby zachodzić tylko przy $x=y$, co wyklucza założenie zadania.

\[\frac{4(x-y)^2}{25}=0\iff x=y\]

Zadanie 31

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Funkcje

Funkcja kwadratowa $f$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe równe $2$. Ponadto $f(0)=8$. Wyznacz wzór funkcji $f$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Zapisz postać funkcji

Dokładnie jedno miejsce zerowe funkcji kwadratowej jest pierwiastkiem podwójnym, więc funkcja ma postać iloczynową z czynnikiem podniesionym do kwadratu.

\[f(x)=a(x-2)^2,\quad a\ne 0\]

2 Wyznacz współczynnik

Podstawiamy x=0 i korzystamy z podanej wartości f(0)=8.

\[8=a(0-2)^2=4a,\quad a=2\]

Odpowiedź

Wzór funkcji to $f(x)=2(x-2)^2=2x^2-8x+8$.

\[f(x)=2(x-2)^2=2x^2-8x+8\]

Sprawdzenie

Dla $x=0$ otrzymujemy $f(0)=8$. Ponieważ $2(x-2)^2=0$ dokładnie wtedy, gdy $x=2$, funkcja ma dokładnie jedno miejsce zerowe.

\[f(0)=2(0-2)^2=8,\qquad f(x)=0\iff (x-2)^2=0\iff x=2\]

Zadanie 32

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Ciągi

Trójwyrazowy ciąg $(x, 3x + 2, 9x + 16)$ jest geometryczny. Oblicz $x$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Warunek ciągu geometrycznego

W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest iloczynem wyrazów skrajnych.

\[(3x+2)^2=x(9x+16)\]

2 Rozwiązanie równania

Rozwijamy nawias i redukujemy wyrazy podobne.

\[9x^2+12x+4=9x^2+16x\quad\Longrightarrow\quad 4=4x\quad\Longrightarrow\quad x=1\]

Odpowiedź

x = 1

\[x=1\]

Sprawdzenie

Dla x = 1 otrzymujemy ciąg (1, 5, 25). Iloraz kolejnych wyrazów wynosi 5, więc ciąg jest geometryczny.

\[\frac{5}{1}=\frac{25}{5}=5\]

Zadanie 33

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Planimetria

Dany jest trapez prostokątny $ABCD$. Podstawa $AB$ tego trapezu jest równa $26$, a ramię $BC$ ma długość $24$. Przekątna $AC$ tego trapezu jest prostopadła do ramienia $BC$ (zobacz rysunek). Oblicz długość ramienia $AD$.

Trapez prostokątny ABCD. Podstawa AB ma oznaczenie 26, ramię BC oznaczenie 24, a przekątna AC jest prostopadła do BC.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Obliczenie przekątnej

Przekątna AC jest prostopadła do BC, więc trójkąt ABC jest prostokątny. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy AC.

\[AC^2=AB^2-BC^2=26^2-24^2=100,\qquad AC=10\]

2 Obliczenie ramienia AD

Ponieważ CD jest równoległe do AB, a AD jest do nich prostopadłe, ramię AD jest wysokością trójkąta ABC opuszczoną na AB. Porównujemy dwa wzory na jego pole.

\[\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{AB\cdot AD}{2},\qquad AD=\frac{10\cdot24}{26}=\frac{120}{13}\]

Odpowiedź

Długość ramienia AD wynosi $\frac{120}{13}$.

\[AD=\frac{120}{13}\]

Sprawdzenie

Boki trójkąta spełniają twierdzenie Pitagorasa. Pole obliczone z przekątnej i ramienia BC jest równe polu obliczonemu z podstawy i otrzymanej wysokości.

\[10^2+24^2=26^2,\qquad \frac{10\cdot24}{2}=\frac{26\cdot\frac{120}{13}}{2}=120\]

Zadanie 34

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte2 pkt

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych większych od $53$ losujemy jedną liczbę. Niech $A$ oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej przez $7$. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Liczba możliwych wyników

Losujemy spośród liczb od 54 do 99 włącznie, więc liczymy je, uwzględniając oba końce przedziału.

\[99-54+1=46\]

2 Liczba wyników sprzyjających

W tym przedziale wielokrotności 7 zaczynają się od 56 i kończą na 98. Ich liczba jest równa liczbie kolejnych mnożników od 8 do 14.

\[56=7\cdot8,\quad 98=7\cdot14,\quad 14-8+1=7\]

3 Obliczenie prawdopodobieństwa

Każda z 46 liczb ma jednakową szansę wylosowania, zatem dzielimy liczbę wyników sprzyjających przez liczbę wszystkich wyników.

\[P(A)=\frac{7}{46}\]

Odpowiedź

Prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 7/46.

\[P(A)=\frac{7}{46}\]

Sprawdzenie

Wielokrotności 7 w rozpatrywanym zbiorze to 56, 63, 70, 77, 84, 91 i 98: jest ich dokładnie 7. Są większe od 53 i dwucyfrowe, a następna wielokrotność, 105, już nie jest dwucyfrowa.

\[7\cdot7=49<54,\qquad 7\cdot15=105>99\]

Zadanie 35

Matura 2022 · czerwiec · F-2015 · poziom podstawowy

Otwarte5 pkt

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Punkt $A=(1,-3)$ jest wierzchołkiem trójkąta $ABC$, w którym $|AC|=|BC|$. Punkt $S=(5,-1)$ jest środkiem odcinka $AB$. Wierzchołek $C$ tego trójkąta leży na prostej o równaniu $y=x+10$. Oblicz współrzędne wierzchołków $B$ i $C$ tego trójkąta.

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

1 Wyznaczenie punktu B

Ponieważ S jest środkiem odcinka AB, jego współrzędne są średnimi współrzędnych końców odcinka.

\[\frac{1+x_B}{2}=5,\quad \frac{-3+y_B}{2}=-1\quad\Longrightarrow\quad B=(9,1)\]

2 Wyznaczenie prostej, na której leży C

Z równości |AC|=|BC| wynika, że C leży na symetralnej odcinka AB. Prosta AB ma współczynnik kierunkowy $\frac12$, więc prostopadła do niej symetralna ma współczynnik $-2$ i przechodzi przez S.

\[\frac{1-(-3)}{9-1}=\frac12,\qquad y+1=-2(x-5),\qquad y=-2x+9\]

3 Wyznaczenie punktu C

Punkt C leży także na prostej podanej w zadaniu, więc rozwiązujemy równania obu prostych.

\[x+10=-2x+9\quad\Longrightarrow\quad x=-\frac13,\qquad y=-\frac13+10=\frac{29}{3}\]

Odpowiedź

Wierzchołki mają współrzędne $B=(9,1)$ oraz $C=\left(-\frac13,\frac{29}{3}\right)$.

\[B=(9,1),\qquad C=\left(-\frac13,\frac{29}{3}\right)\]

Sprawdzenie

Środek odcinka AB to $(5,-1)$, a punkt C spełnia równanie $y=x+10$. Kwadraty długości AC i BC są równe, zatem $|AC|=|BC|$.

\[\left(\frac{1+9}{2},\frac{-3+1}{2}\right)=(5,-1),\quad -\frac13+10=\frac{29}{3},\quad |AC|^2=\left(-\frac43\right)^2+\left(\frac{38}{3}\right)^2=\frac{1460}{9}=\left(-\frac{28}{3}\right)^2+\left(\frac{26}{3}\right)^2=|BC|^2\]